Bài tập 30, § 6

Ta nhắc lại các giả thiết của bài tập trước để $u$ là tuyến tính, compact, và các điều kiện (i) đến (v) được giả sử là thỏa mãn. Tự đồng cấu $^tu$ cũng là compact.

(a) Cho $\eta \in C^{\circ}-\{0\}$. Với mọi $\lambda \in \mathbf{R}_+$ sao cho $\lambda < \lambda_m$, nghiệm duy nhất $\xi (\lambda )$ của phương trình $\xi -\lambda^tu(\xi ) =\eta$ thuộc về $C^{\circ}$. (Nếu $x\in C$, hãy lấy $y\in C$ sao cho $y-\lambda u(y) =x$; ta có $\langle y, \eta \rangle =\langle x, \xi \rangle .$)

(b) Cho $x_0\in \mathring{C}$. Ánh xạ $\lambda \mapsto \langle x_0, \xi (\lambda )\rangle$ tiến tới vô cực khi $\lambda$ tiến tới $\lambda_m$. Bây giờ chứng minh rằng tập hợp các giá trị $\xi (\lambda )/\langle x_0, \xi (\lambda )\rangle$ có một giá trị dính $\xi_m$ sao cho :

(i) $\xi_m\in C^{\circ}$;

(ii) $\langle x_0, \xi_m\rangle = 1$;

(iii) $\xi_m=\lambda_m^tu(\xi_m)$.

(c) Cho $f\in E$ sao cho $\langle f, \xi_m\rangle = 0$. Với $\lambda \in \mathbf{R}_+$ sao cho $\lambda < \lambda_m$, ký hiệu $x(\lambda )$ là nghiệm duy nhất $x$ trong E của phương trình $x-\lambda u(x) =f$. Bây giờ chứng minh rằng tập hợp các $x(\lambda )$ bị chặn trong E (gọi $d$ là một khoảng cách xác định tôpô của E; nếu tồn tại một dãy $\lambda_n\rightarrow \lambda_m$ sao cho $x(\lambda_n)$ tiến tới vô cực, đặt $\widehat{x}_n=x(\lambda_n)/d(0, x(\lambda_n))$, và chỉ ra rằng dãy $(\widehat{x}_n)$ hội tụ đến một phần tử $\widehat{x}$ sao cho $d(0,\widehat{x}) = 1, \widehat{x}=\lambda u(\widehat{x})$ và $\langle \widehat{x, \xi}_m\rangle = 0$, điều này mâu thuẫn với sự kiện rằng phải có $\widehat{x}\in \mathring{C}$).

(d) Có một phần tử duy nhất $x\in E$ sao cho $f=x-\lambda_mu(x)$ và $\langle x, \xi_m\rangle = 0$. (Đối với sự tồn tại, bây giờ chứng minh với sự trợ giúp của câu hỏi trước rằng tồn tại một dãy $(\lambda_n)$ hội tụ về $\lambda_m$ sao cho $(x(\lambda_n))$ hội tụ về một phần tử $x$ thỏa mãn các điều kiện đã yêu cầu.)

(e) Tự đồng cấu $1_{E'}-\lambda_m^tu$ của $E'$ cảm sinh bởi việc chuyển qua các không gian con cho một song ánh của cực $x^{\circ}_m$ của $x_m$.

(f) Không gian riêng Ker(1$_E-\lambda_mu$) có chiều 1 và bằng cực của ảnh của $1_E-\lambda_mu$.