Exercice 3, § 3

Soit $n\in \mathbf{N}$. On note $\mu_n$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}^n$.

a) Soit $\mathscr{H}_1$ l’image de l’application $\partial_1:\mathscr{D}(\mathbf{R}^n)\rightarrow \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$; c’est l’espace des $\varphi \in \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$ tels que

pour tout $y\in \mathbf{R}^{n-1}$.

b) Soit $\varphi_0\in \mathscr{D}(\mathbf{R})$ dont l’intégrale sur $\mathbf{R}$ est égale à 1. Pour tout $\varphi \in \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$, il existe $\varphi_1\in \mathscr{H}_1$ tel que

pour tout $(x, y)\in \mathbf{R}\times \mathbf{R}^{n-1}$.

c) Pour toute distribution $f\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$, il existe $g\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$ tel que $\partial_1g=f$. Si $g_1$ et $g_2$ dans $\mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$ vérifient $\partial_1g_1=\partial_1g_2=f$, alors il existe une distribution $h\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^{n-1})$ telle que

pour tout $\varphi \in \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$, où $\psi \in \mathscr{D}(\mathbf{R}^{n-1})$ est définie par

d) Soit U un ouvert connexe de $\mathbf{R}^n$. Soit $f\in \mathscr{D}'(U)$ une distribution telle que $\partial_if= 0$ pour $1\leqslant i\leqslant n$. La distribution $f$ est la distribution associée à une fonction constante.