Bài tập 3, § 3

Cho $n\in \mathbf{N}$. Gọi $\mu_n$ là độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}^n$.

a) Gọi $\mathscr{H}_1$ là ảnh của ánh xạ $\partial_1:\mathscr{D}(\mathbf{R}^n)\rightarrow \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$; đó là không gian của các $\varphi \in \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$ sao cho

với mọi $y\in \mathbf{R}^{n-1}$.

b) Cho $\varphi_0\in \mathscr{D}(\mathbf{R})$ có tích phân trên $\mathbf{R}$ bằng 1. Với mọi $\varphi \in \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$, tồn tại $\varphi_1\in \mathscr{H}_1$ sao cho

với mọi $(x, y)\in \mathbf{R}\times \mathbf{R}^{n-1}$.

c) Với mọi phân bố $f\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$, tồn tại $g\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$ sao cho $\partial_1g=f$. Nếu $g_1$ và $g_2$ trong $\mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$ thỏa mãn $\partial_1g_1=\partial_1g_2=f$, thì tồn tại một phân bố $h\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^{n-1})$ sao cho

với mọi $\varphi \in \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$, trong đó $\psi \in \mathscr{D}(\mathbf{R}^{n-1})$ được xác định bởi

d) Cho U là một tập mở liên thông của $\mathbf{R}^n$. Cho $f\in \mathscr{D}'(U)$ là một phân bố sao cho $\partial_if= 0$ với $1\leqslant i\leqslant n$. Phân bố $f$ là phân bố liên kết với một hàm hằng.