Exercice 22, § 5

On reprend les notations de l’exercice précédent.

Soit $\boldsymbol{\mu}= (\mu_n)_{n\in\mathbf{N}}$ une suite de nombres réels vérifiant les conditions (24). On considère la question de l’unicité d’une mesure $\nu \in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ telle que $\mu_n=\nu (x^n)$ pour tout $n\in \mathbf{N}$. On suppose que la forme sesquilinéaire $b_{\boldsymbol{\mu}}$ est séparante (cf. question f) de l’exercice précédent).

a) S’il existe une mesure $\nu \in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ à support compact telle que $\nu (x^n) =\mu_n$ pour tout $n\in \mathbf{N}$, alors $\nu$ est l’unique mesure dans $\mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ telle que $\nu (x^n) =\mu_n$ pour tout $n\in \mathbf{N}$.

b) Soit $\nu \in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ telle que $\nu (x^n) =\mu_n$ pour tout $n\in \mathbf{N}$. Pour tout $p\in \mathbf{C}[X]$, on a $p\in \mathscr{L}^2(\mathbf{R}, \nu )$ et $\|p\|=b_{\boldsymbol{\mu}}(p, p)$.

c) L’injection canonique de $\mathbf{C}[X]$ dans $\mathscr{L}^2(\mathbf{R}, \nu )$ définit par continuité et par passage au quotient une isométrie de $E_{\boldsymbol{\mu}}$ dans $L^2(\mathbf{R}, \nu )$. Dans la suite, on identifie $E_{\boldsymbol{\mu}}$ à son image, qui est un sous-espace fermé de $L^2(\mathbf{R}, \nu )$.

d) On a $u_{\boldsymbol{\mu}}\subset m_x$, où $m_x$ désigne l’opérateur de multiplication par $x$ dans $L^2(\mathbf{R}, \nu )$.

e) La mesure $\nu$ est la mesure spectrale de la fonction constante 1 relative à $m_x$.

f) Soit $\nu \in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$. On a $\nu (x^n) =\mu_n$ pour tout $n\in \mathbf{N}$ si et seulement s’il existe un espace hilbertien F et un opérateur partiel auto-adjoint $v$ sur F vérifiant les conditions suivantes :

(i) L’espace $E_{\boldsymbol{\mu}}$ est un sous-espace fermé de F, et l’injection canonique de $E_{\boldsymbol{\mu}}$ dans F est une isométrie ;

(ii) On a $u_{\boldsymbol{\mu}}\subset v$;

(iii) La mesure $\nu$ est la mesure spectrale de la fonction constante $1\in E_{\boldsymbol{\mu}}$ relative à $v$.

g) Il existe une unique mesure $\nu \in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ telle que $\nu (x^m) =\mu_n$ pour tout $n\in \mathbf{N}$ si et seulement si l’opérateur partiel $u_{\boldsymbol{\mu}}$ est essentiellement auto-adjoint. h) Soit $\nu_{lg}$ la mesure positive sur $\mathbf{R}$ à support dans $\mathbf{R}_+$ dont la restriction à $\mathbf{R}_+^*$ a la densité

1 2

$t\mapsto$ exp($-$ log($t$)$/2$)

par rapport à la mesure de Lebesgue. Soit $\widetilde{\nu}_{lg}$ la mesure positive sur $\mathbf{R}$ à support dans $\mathbf{R}_+$ dont la restriction à $\mathbf{R}^*_+$ a la densité $t\mapsto 1 +$ sin(2$\pi$ log($t$)) par rapport à $\nu_{lg}$.

On a $\nu_{lg}\in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ et $\widetilde{\nu}_{lg}\in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$.

i) On a $\nu_{lg}(x^n) =\widetilde{\nu}_{lg}(x^n)$ pour tout $n\in \mathbf{N}$.