Bài tập 22, § 5

Ta lấy lại ký hiệu của bài tập trước.

Cho $\boldsymbol{\mu}= (\mu_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là một dãy số thực thỏa mãn các điều kiện (24). Ta xét vấn đề về tính duy nhất của một độ đo $\nu \in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ sao cho $\mu_n=\nu (x^n)$ với mọi $n\in \mathbf{N}$. Ta giả sử rằng dạng song tuyến tính Hermit $b_{\boldsymbol{\mu}}$ là tách được (xem câu hỏi f) của bài tập trước).

a) Nếu tồn tại một độ đo $\nu \in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ có giá compact sao cho $\nu (x^n) =\mu_n$ với mọi $n\in \mathbf{N}$, thì $\nu$ là độ đo duy nhất trong $\mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ sao cho $\nu (x^n) =\mu_n$ với mọi $n\in \mathbf{N}$.

b) Cho $\nu \in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ sao cho $\nu (x^n) =\mu_n$ với mọi $n\in \mathbf{N}$. Với mọi $p\in \mathbf{C}[X]$, ta có $p\in \mathscr{L}^2(\mathbf{R}, \nu )$ và $\|p\|=b_{\boldsymbol{\mu}}(p, p)$.

c) Đơn ánh chính tắc của $\mathbf{C}[X]$ vào $\mathscr{L}^2(\mathbf{R}, \nu )$ xác định bởi tính liên tục và bởi chuyển qua thương một đẳng cự của $E_{\boldsymbol{\mu}}$ vào $L^2(\mathbf{R}, \nu )$. Trong phần tiếp theo, ta đồng nhất $E_{\boldsymbol{\mu}}$ với ảnh của nó, là một không gian con đóng của $L^2(\mathbf{R}, \nu )$.

d) Ta có $u_{\boldsymbol{\mu}}\subset m_x$, trong đó $m_x$ ký hiệu toán tử của phép nhân bởi $x$ trong $L^2(\mathbf{R}, \nu )$.

e) Độ đo $\nu$ là độ đo phổ của hàm hằng 1 đối với $m_x$.

f) Cho $\nu \in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$. Ta có $\nu (x^n) =\mu_n$ với mọi $n\in \mathbf{N}$ khi và chỉ khi tồn tại một không gian Hilbert F và một toán tử bộ phận tự liên hợp $v$ trên F thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Không gian $E_{\boldsymbol{\mu}}$ là một không gian con đóng của F, và đơn ánh chính tắc của $E_{\boldsymbol{\mu}}$ vào F là một đẳng cự;

(ii) Ta có $u_{\boldsymbol{\mu}}\subset v$;

(iii) Độ đo $\nu$ là độ đo phổ của hàm hằng $1\in E_{\boldsymbol{\mu}}$ đối với $v$.

g) Tồn tại một độ đo duy nhất $\nu \in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ sao cho $\nu (x^m) =\mu_n$ với mọi $n\in \mathbf{N}$ khi và chỉ khi toán tử bộ phận $u_{\boldsymbol{\mu}}$ là tự liên hợp thiết yếu.

h) Cho $\nu_{lg}$ là độ đo dương trên $\mathbf{R}$ có giá trong $\mathbf{R}_+$ mà hạn chế của nó lên $\mathbf{R}_+^*$ có mật độ

1 2

$t\mapsto$ exp($-$ log($t$)$/2$)

đối với độ đo Lebesgue. Cho $\widetilde{\nu}_{lg}$ là độ đo dương trên $\mathbf{R}$ có giá đỡ trong $\mathbf{R}_+$ mà hạn chế của nó trên $\mathbf{R}^*_+$ có mật độ $t\mapsto 1 +$ sin(2$\pi$ log($t$)) đối với $\nu_{lg}$.

Ta có $\nu_{lg}\in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ và $\widetilde{\nu}_{lg}\in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$.

i) Ta có $\nu_{lg}(x^n) =\widetilde{\nu}_{lg}(x^n)$ với mọi $n\in \mathbf{N}$.