Exercice 29, § 5

Soit E un espace hilbertien complexe. On note $\mathscr{T}_b$ (resp. $\mathscr{T}_s,\mathscr{T}_f$) la topologie d’espace de Banach de $\mathscr{L}(E)$ (resp. la topologie de la convergence simple, la topologie localement convexe définie par les semi-normes $u\mapsto$ $\langle x|u(y)\rangle$ pour $(x, y)\in E\times E$).

a) Soit $\lambda_0\in \mathbf{C}-\mathbf{R}$. La topologie $\mathscr{T}_b$-résolvante (resp. $\mathscr{T}_s$-résolvante) est la topologie la moins fine sur $\mathscr{A}(E)$ telle que l’application $u\mapsto R(u, \lambda_0)$ de $\mathscr{A}(E)$ dans $\mathscr{L}(E)$ muni de la topologie $\mathscr{T}_b$ (resp. $\mathscr{T}_s$) est continue.

b) La topologie $\mathscr{T}_f$-résolvante coïncide avec la topologie $\mathscr{T}_s$-résolvante.

c) Soit $X\subset \mathscr{L}(E)$ un ensemble borné d’endomorphismes hermitiens de E. La topologie induite sur X par la topologie $\mathscr{T}_b$-résolvante (resp. la topologie $\mathscr{T}_s$-résolvante) coïncide avec la topologie induite par la topologie $\mathscr{T}_b$ ((esp. la topologie $\mathscr{T}_s$).

d) La propriété de la question a) ne vaut pas pour la topologie $\mathscr{T}_f$-résolvante. e) Donner un exemple de suite $(u_n)$ d’opérateurs partiels auto-adjoints qui converge pour la topologie $\mathscr{T}_b$-résolvante et de fonction $f\in \mathscr{C}_b(\mathbf{R})$ telle que $f(u_n)$ ne converge pas vers $f(u)$ dans $\mathscr{L}(E)$.

f) Soient $(u_n)$ une suite d’opérateurs partiels auto-adjoints sur E et $u$ un opérateur partiel auto-adjoint sur E. S’il existe un sous-espace dense F de $E_u$, contenu dans dom($u_n$) pour tout $n$, tel que $u_n(x)$ converge vers $u(x)$ pour tout $x\in F$, alors $(u_n)$ converge vers $u$ pour la topologie $\mathscr{T}_s$-résolvante.