Bài tập 29, § 5

Cho E là một không gian Hilbert phức. Ta ký hiệu bởi $\mathscr{T}_b$ (resp. $\mathscr{T}_s,\mathscr{T}_f$) tôpô không gian Banach của $\mathscr{L}(E)$ (resp. tôpô hội tụ đơn giản, tôpô lồi địa phương được xác định bởi các nửa chuẩn $u\mapsto$ $\langle x|u(y)\rangle$ đối với $(x, y)\in E\times E$).

a) Cho $\lambda_0\in \mathbf{C}-\mathbf{R}$. Tôpô giải thức $\mathscr{T}_b$ (resp. tôpô giải thức $\mathscr{T}_s$) là tôpô thô nhất trên $\mathscr{A}(E)$ sao cho ánh xạ $u\mapsto R(u, \lambda_0)$ từ $\mathscr{A}(E)$ vào $\mathscr{L}(E)$ được trang bị tôpô $\mathscr{T}_b$ (resp. $\mathscr{T}_s$) là liên tục.

b) Tôpô giải thức $\mathscr{T}_f$ trùng với tôpô giải thức $\mathscr{T}_s$.

c) Cho $X\subset \mathscr{L}(E)$ là một tập hợp bị chặn các tự đồng cấu Hermit của E. Tôpô cảm sinh trên X bởi tôpô giải thức $\mathscr{T}_b$ (resp. tôpô giải thức $\mathscr{T}_s$) trùng với tôpô cảm sinh bởi tôpô $\mathscr{T}_b$ ((resp. tôpô $\mathscr{T}_s$).

d) Tính chất của câu hỏi a) không đúng đối với tôpô giải thức $\mathscr{T}_f$. e) Hãy cho một ví dụ về một dãy $(u_n)$ các toán tử tự liên hợp từng phần hội tụ đối với tôpô giải thức $\mathscr{T}_b$ và một hàm $f\in \mathscr{C}_b(\mathbf{R})$ sao cho $f(u_n)$ không hội tụ tới $f(u)$ trong $\mathscr{L}(E)$.

f) Cho $(u_n)$ là một dãy các toán tử tự liên hợp từng phần trên E và cho $u$ là một toán tử tự liên hợp từng phần trên E. Nếu tồn tại một không gian con trù mật F của $E_u$, được chứa trong dom($u_n$) với mọi $n$, sao cho $u_n(x)$ hội tụ tới $u(x)$ với mọi $x\in F$, thì $(u_n)$ hội tụ tới $u$ đối với tôpô giải thức $\mathscr{T}_s$.