Exercice 31, § 5

Soit E un espace hilbertien complexe. Notons $\mathscr{T}_s$ la topologie de la convergence simple sur $\mathscr{L}(E)$. Notons $\mathbf{H}$ l’ensemble des nombres complexes de partie imaginaire strictement positive.

Soit $(u_n)$ une suite dans $\mathscr{A}(E)$. On suppose que

(i) Il existe $\lambda_+\in \mathbf{H}$ tel que $R(u_n, \lambda_+)$ converge dans $\mathscr{L}(E)$ muni de la

topologie(ii) Il existe$\mathscr{T}_s$; on note$\lambda_-\in v\overline{\mathbf{H}}^+$ sa limite ;tel que $R(u_n, \lambda_-)$ converge dans $\mathscr{L}(E)$ muni de la topologie $\mathscr{T}_s$;

(iii) L’image F de l’endomorphisme $v_+$ est dense dans E.

Soit D le disque ouvert dans $\mathbf{C}$ formé des $\lambda \in \mathbf{H}$ tels que

a) Pour tout $\lambda \in D$, la série

converge dans $\mathscr{L}(E)$. De plus, pour tout $\lambda \in D$, la suite $(R(u_n, \lambda ))_n$ converge vers $r_{\lambda}$ dans $\mathscr{L}(E)$ muni de la topologie $\mathscr{T}_s$.

b) Il existe une unique application holomorphe de $\mathbf{H}$ dans $\mathscr{L}(E)$ qui coïncide sur D avec l’application $\lambda \mapsto r_{\lambda}$. On la note encore $\lambda \mapsto r_{\lambda}$.

c) Il existe une unique application holomorphe de $\mathbf{C}-\mathbf{R}$ dans $\mathscr{L}(E)$ qui coïncide sur $\mathbf{H}$ avec l’application $\lambda \mapsto r_{\lambda}$, et qui vérifie $r^*_{\lambda}=r_{\overline{\lambda}}$ pour tout $\lambda \in \mathbf{C}-\mathbf{R}$. Elle vérifie $r_{\lambda_-}=v_-$, et pour tout $\lambda \in \mathbf{C}-\mathbf{R}$, la suite $(R(u_n, \lambda ))$ converge vers $r_{\lambda}$ dans $\mathscr{L}(E)$ muni de la topologie $\mathscr{T}_s$.

d) Pour tous $\lambda$ et $\mu$ dans C-R, on a $r_{\lambda}-r_\mu= (\mu-\lambda ) =r_\mu r_{\lambda}$ et $r_{\lambda}r_\mu=r_\mu r_{\lambda}$. e) L’image de $r_{\lambda}$ est égale à F pour tout $\lambda \in \mathbf{C}-\mathbf{R}$.

f ) Pour tout $\lambda \in \mathbf{C}-\mathbf{R}$, l’endomorphisme $r_{\lambda}$ est injectif ; l’opérateur partiel $\lambda 1_E-r_{\lambda}^{-1}$ de domaine F ne dépend pas du choix de $\lambda \in \mathbf{C}-\mathbf{R}$; on le note $u$. g) L’opérateur partiel $u$ est auto-adjoint ; pour tout $\lambda \in$ C-R, on a $R(u, \lambda ) =$ $r_{\lambda}$.

h) La suite $(u_n)$ converge vers $u$ pour la topologie $\mathscr{T}_s$-résolvante. (« Théorème de Kato–Trotter »)