Bài tập 31, § 5

Cho E là một không gian Hilbert phức. Ký hiệu $\mathscr{T}_s$ là tôpô hội tụ đơn trên $\mathscr{L}(E)$. Ký hiệu $\mathbf{H}$ là tập hợp các số phức có phần ảo dương ngặt.

Cho $(u_n)$ là một dãy trong $\mathscr{A}(E)$. Giả sử rằng

(i) Tồn tại $\lambda_+\in \mathbf{H}$ sao cho $R(u_n, \lambda_+)$ hội tụ trong $\mathscr{L}(E)$ được trang bị tôpô

(ii) Tồn tại$\mathscr{T}_s$; gọi$\lambda_-\in v\overline{\mathbf{H}}^+$ là giới hạn của nó ; sao cho $R(u_n, \lambda_-)$ hội tụ trong $\mathscr{L}(E)$ được trang bị tôpô $\mathscr{T}_s$;

(iii) Ảnh F của tự đồng cấu $v_+$ là trù mật trong E.

Cho D là đĩa mở trong $\mathbf{C}$ gồm các $\lambda \in \mathbf{H}$ sao cho

a) Với mọi $\lambda \in D$, chuỗi

hội tụ trong $\mathscr{L}(E)$. Hơn nữa, với mọi $\lambda \in D$, dãy $(R(u_n, \lambda ))_n$ hội tụ tới $r_{\lambda}$ trong $\mathscr{L}(E)$ được trang bị tôpô $\mathscr{T}_s$.

b) Tồn tại một ánh xạ chỉnh hình duy nhất từ $\mathbf{H}$ vào $\mathscr{L}(E)$ trùng trên D với ánh xạ $\lambda \mapsto r_{\lambda}$. Nó lại được ký hiệu bởi $\lambda \mapsto r_{\lambda}$.

c) Tồn tại một ánh xạ chỉnh hình duy nhất từ $\mathbf{C}-\mathbf{R}$ vào $\mathscr{L}(E)$ trùng trên $\mathbf{H}$ với ánh xạ $\lambda \mapsto r_{\lambda}$, và thỏa mãn $r^*_{\lambda}=r_{\overline{\lambda}}$ với mọi $\lambda \in \mathbf{C}-\mathbf{R}$. Nó thỏa mãn $r_{\lambda_-}=v_-$, và với mọi $\lambda \in \mathbf{C}-\mathbf{R}$, dãy $(R(u_n, \lambda ))$ hội tụ tới $r_{\lambda}$ trong $\mathscr{L}(E)$ được trang bị tôpô $\mathscr{T}_s$.

d) Với mọi $\lambda$ và $\mu$ trong C-R, ta có $r_{\lambda}-r_\mu= (\mu-\lambda ) =r_\mu r_{\lambda}$ và $r_{\lambda}r_\mu=r_\mu r_{\lambda}$. e) Ảnh của $r_{\lambda}$ bằng F với mọi $\lambda \in \mathbf{C}-\mathbf{R}$.

f ) Với mọi $\lambda \in \mathbf{C}-\mathbf{R}$, tự đồng cấu $r_{\lambda}$ là đơn ánh ; toán tử bộ phận $\lambda 1_E-r_{\lambda}^{-1}$ có miền xác định là F không phụ thuộc vào lựa chọn của $\lambda \in \mathbf{C}-\mathbf{R}$; nó được ký hiệu bởi $u$. g) Toán tử bộ phận $u$ là tự liên hợp ; với mọi $\lambda \in$ C-R, ta có $R(u, \lambda ) =$ $r_{\lambda}$.

h) Dãy $(u_n)$ hội tụ tới $u$ đối với tôpô giải thức $\mathscr{T}_s$. (“Định lý Kato-Trotter”)