Chapitre V

Représentations unitaires

Pour tout espace vectoriel E, on note $1_E$ l’application identique de E. Si E, F et G sont des espaces vectoriels et si $u: F\rightarrow E$ et $v: G\rightarrow F$ sont des applications linéaires, on note parfois $uv$ l’application linéaire $u\circ v$ de G dans E.

Pour un espace hilbertien E, on note $\langle x|y\rangle_E$, ou simplement $\langle x|y\rangle$, le produit scalaire sur E.

Si X est un espace topologique localement compact et $\mu$ une mesure sur X, on notera $\mathscr{L}^p(X, \mu) =\mathscr{L}_{\mathbf{C}}^p(X, \mu)$ et $L^p(X, \mu) = L^p_{\mathbf{C}}(X, \mu)$ pour $p\in [1,+\infty ]$.

On note $e$ l’élément unité d’un groupe G.

Soient A une algèbre associative, E un espace vectoriel topologique et $\pi : A\rightarrow \mathscr{L}(E)$ une représentation de A dans E. On dit que $\pi$ est non dégénérée si l’ensemble des vecteurs $\pi (a)x$ pour $a\in A$ et $x\in E$ est total dans E.