Bài tập 14, § 2

Cho $A$ là một vành (không nhất thiết giao hoán), $E$ là một A-môđun trái. Một tôpô trên $E$ được gọi là tuyến tính nếu nó bất biến qua phép tịnh tiến và nếu 0 có một hệ cơ bản các lân cận là các môđun con của $E$; khi đó người ta nói rằng $E$ được tôpô hóa tuyến tính. Một tôpô tuyến tính trên $E$ tương thích với cấu trúc nhóm cộng của nó, và xác định trên $E$ một cấu trúc của A-môđun tôpô khi A được trang bị tôpô rời rạc. Trên mọi A-môđun, tôpô rời rạc và tôpô nhỏ nhất là các tôpô tuyến tính.

a) Nếu $E$ là một môđun được tôpô hóa tuyến tính, $F$ là một môđun con của $E$, thì tôpô cảm sinh trên $F$ và tôpô thương của tôpô của $E$ theo $F$ là các tôpô tuyến tính. Nếu $(E_\alpha, f_{\alpha\beta})$ là một hệ xạ ảnh của các A-môđun được tôpô hóa tuyến tính, trong đó các $f_{\alpha\beta}$ là các ánh xạ tuyến tính liên tục, thì A-môđun tôpô $E = \lim \leftarrow E_\alpha$ được tôpô hóa tuyến tính.

b) Cho $E$ là một A-môđun được tôpô hóa tuyến tính. Tồn tại một hệ cơ bản $(V_\lambda)_{\lambda \in L}$ các lân cận của 0 trong $E$, gồm các môđun con mở (và đóng); nếu $\varphi_{\lambda\mu} : E/V_\mu \to E/V_\lambda$ là ánh xạ chính tắc khi $V_\lambda \supset V_\mu$, thì họ $(E/V_\lambda, \varphi_{\lambda\mu})$ là một hệ xạ ảnh các A-môđun rời rạc; A-môđun tôpô $\tilde{E} = \lim \leftarrow E/V_\lambda$ đồng nhất với phép hoàn thiện tách được của $E$, do đó nó được tôpô hóa tuyến tính (Top. gén., chap. III, 3e éd., § 7, no 3).

c) Một A-môđun $E$ được tôpô hóa tuyến tính tách được là rời rạc khi nó là Artin, hoặc khi tồn tại một phần tử nhỏ nhất trong tập hợp các môđun con $\neq 0$ của $E$.