Exercice 14, § 2

Soient $A$ un anneau (non nécessairement commutatif), $E$ un $A$-module à gauche. On dit qu’une topologie sur $E$ est linéaire si elle est invariante par translation et si 0 admet un système fondamental de voisinages qui sont des sous-modules de $E$; on dit alors que $E$ est linéairement topologisé. Une topologie linéaire sur $E$ est compatible avec sa structure de groupe additif, et définit sur $E$ une structure de $A$-module topologique lorsqu’on munit $A$ de la topologie discrète. Sur un $A$-module quelconque, la topologie discrète et la topologie la moins fine sont des topologies linéaires.

a) Si $E$ est un module linéairement topologisé, $F$ un sous-module de $E$, la topologie induite sur $F$ et la topologie quotient de celle de $E$ par $F$ sont des topologies linéaires. Si $(E_\alpha, f_{\alpha\beta})$ est un système projectif de $A$-modules linéairement topologisés, où les $f_{\alpha\beta}$ sont des applications linéaires continues, le $A$-module topologique $E = \lim \leftarrow E_\alpha$ est linéairement topologisé.

b) Soit $E$ un $A$-module linéairement topologisé. Il existe un système fondamental $(V_\lambda)_{\lambda \in L}$ de voisinages de 0 dans $E$, formé de sous-modules ouverts (et fermés); si $\varphi_{\lambda\mu} : E/V_\mu \to E/V_\lambda$ est l’application canonique lorsque $V_\lambda \supset V_\mu$, la famille $(E/V_\lambda, \varphi_{\lambda\mu})$ est un système projectif de $A$-modules discrets; le $A$-module topologique $\tilde{E} = \lim \leftarrow E/V_\lambda$ s’identifie au séparé complété de $E$, qui est donc linéairement topologisé (Top. gén., chap. III, 3e éd., § 7, no 3).

c) Un $A$-module linéairement topologisé séparé $E$ est discret lorsqu’il est artinien, ou lorsqu’il existe un plus petit élément dans l’ensemble des sous-modules $\neq 0$ de $E$.