Bài tập 22, § 2

(a) Cho $A$ là một vành địa phương, $\mathfrak{m}$ là iđêan cực đại của nó. Chứng minh rằng nếu, đối với một tôpô tuyến tính $\mathscr{C}$ trên $A$, $A$ là compact tuyến tính thực sự, thì $\mathscr{C}$ kém mịn hơn tôpô $\mathfrak{m}$-adic.

(b) Cho $A$ là một vành giao hoán, $\mathfrak{m}$ là một iđêan của $A$. Để $A$ là compact tuyến tính thực sự đối với tôpô $\mathfrak{m}$-adic, điều kiện cần và đủ là nó tách được và đầy đủ đối với tôpô này, rằng $A/\mathfrak{m}$ là một vành Artin và $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ là một $(A/\mathfrak{m})$-môđun có độ dài hữu hạn (nói cách khác, A là một vành nửa địa phương Noether đầy đủ).

(c) Cho I là một tập vô hạn các chỉ số, K là một trường hữu hạn, $A = K[[X_i]]_{i \in I}$ là đại số các chuỗi lũy thừa hình thức đối với họ các bất định $(X_i)_{i \in I}$ (Alg., chap. IV, § 5, exerc. 1); A là một vành địa phương. Với tư cách là một không gian vectơ trên K, có thể đồng nhất A với không gian tích $K^{N(I)}$; nếu K được trang bị tôpô rời rạc và A được trang bị tôpô tích $\mathscr{C}$, chứng minh rằng $\mathscr{C}$ là một tôpô tuyến tính trên vành $A$, đối với nó $A$ là compact tuyến tính thực sự; nếu $m$ là iđêan cực đại của $A$, bây giờ chứng minh, bằng lập luận như trong bài tập 12 c), rằng $A$ không đầy đủ đối với tôpô $m$-adic.