Exercice 22, § 2

a) Soient A un anneau local, $\mathfrak{m}$ son idéal maximal. Montrer que si, pour une topologie linéaire $\mathscr{C}$ sur A, A est strictement linéairement compact, $\mathscr{C}$ est moins fine que la topologie $\mathfrak{m}$-adique.

b) Soient A un anneau commutatif, $\mathfrak{m}$ un idéal de A. Pour que A soit strictement linéairement compact pour la topologie $\mathfrak{m}$-adique, il faut et il suffit qu'il soit séparé et complet pour cette topologie, que $A/\mathfrak{m}$ soit un anneau artinien et $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ un $(A/\mathfrak{m})$-module de longueur finie (autrement dit, A est un anneau nœthérien semi-local complet).

c) Soient I un ensemble d'indices infini, K un corps fini, $A = K[[X_i]]_{i \in I}$ l'algèbre des séries formelles par rapport à la famille d'indéterminées $(X_i)_{i \in I}$ (Alg., chap. IV, § 5, exerc. 1) ; A est un anneau local. En tant qu'espace vectoriel sur K, on peut identifier A à l'espace produit $K^{N(I)}$; si on munit K de la topologie discrète et A de la topologie produit $\mathscr{C}$, montrer que $\mathscr{C}$ est une topologie linéaire sur l’anneau $A$, pour laquelle $A$ est strictement linéairement compact ; si $m$ est l’idéal maximal de $A$, montrer, en raisonnant comme dans l’exerc. 12 c), que $A$ n’est pas complet pour la topologie $m$-adique.