Bài tập 20, § 3

Cho $A$ là một vành giai thừa, $f = \sum_{k=0}^n a_k X^k$ là một đa thức của $A[X]$; giả sử rằng tồn tại một phần tử cực đại $p$ của $A$ sao cho : 1°) tồn tại một chỉ số $k \leq n$ sao cho $a_k$ không chia được bởi $p$, nhưng $a_i$ chia được bởi $p$ với $i < k$; 2°) $a_0$ chia được bởi $p$, nhưng không chia được bởi $p^2$. Bây giờ chứng minh rằng dưới các điều kiện này, một trong các nhân tử bất khả quy của $f$ trong $A[X]$ có bậc $\geq k$ (suy luận trong $(A/pA)[X]$). Trường hợp đặc biệt khi $k = n$ (« tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein »).