Exercice 20, § 3

Soient $A$ un anneau factoriel, $f = \sum_{k=0}^n a_k X^k$ un polynôme de $A[X]$; on suppose qu’il existe un élément extrémal $p$ de $A$ tel que : 1°) il existe un indice $k \leq n$ tel que $a_k$ ne soit pas divisible par $p$, mais que $a_i$ soit divisible par $p$ pour $i < k$; 2°) $a_0$ soit divisible par $p$, mais non par $p^2$. Montrer que dans ces conditions, un des facteurs irréductibles de $f$ dans $A[X]$ est de degré $\geq k$ (raisonner dans $(A/pA)[X]$). Cas particulier où $k = n$ (« critère d’irréductibilité d’Eisenstein »).