Bài tập 8, § 3

Cho $A$ là một vành nguyên, $x, y, z$ là ba phần tử khác không của A, trong đó x là cực biên và $Ax \cap Ay = Axy$. Cho S là tập hợp nhân của các $x^n$ ($n \geq 0$), và cho $B = S^{-1}A$; ta xét các vành chuỗi hình thức $A[[T]]$ và $B[[T]]$.

(a) Cho $i, j, k$ là ba số nguyên $\geqslant 0$ sao cho $ijk - ij - jk - ki \geqslant 0$ và $z^i \in \mathbf{A} x^j + \mathbf{A} y^k$. Ta xét trong $\mathbf{A}[[T]]$ phần tử $v = xy - z^{i-1} T$. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một số nguyên $t > 0$ và một chuỗi

trong $\mathbf{B}[[T]]$ sao cho $vv' \in \mathbf{A}[[T]]$ (các $b_n$ sẽ được xác định bằng truy hồi, tiến hành trong $\mathbf{N}$ theo các khoảng có độ dài $ij$; bên trong mỗi khoảng, lấy $b_{n+1} = b_n z^{i-1} x^{-1}$; ở cuối mỗi khoảng, dùng bất đẳng thức $ijk - ij - jk - ki \geqslant 0$.

(b) Giả sử rằng $z^{i-1} \notin \mathbf{A} x + \mathbf{A} y$. Bây giờ chứng minh rằng không tồn tại chuỗi hình thức nào trong vành $\mathbf{A}[[T]]$ có số hạng hằng $y^k$ ($k$ số nguyên $> 0$) và là một phần tử liên kết với $v$ trong $\mathbf{B}[[T]]$ (tính hệ số của $T$ trong tích của $v$ và một phần tử khả nghịch của $\mathbf{B}[[T]]$).

(c) Suy ra từ a), b) và bài tập 7 một ví dụ về một vành giai thừa $\mathbf{A}$ sao cho vành chuỗi hình thức $\mathbf{A}[[T]]$ không là giai thừa. (Với các ký hiệu trước đó, và giả sử các điều kiện của a) và b) đối với $x, y, z, i, j, k$ được thỏa mãn, bây giờ chứng minh rằng $vv'$ không thể là tích của các thừa số cực biên $u_h$ ($1 \leqslant h \leqslant r$) trong $\mathbf{A}[[T]]$; ta sẽ nhận thấy rằng các $u_h$ là các chuỗi hình thức mà các số hạng hằng là các lũy thừa của $y$. Tiếp theo xét vành $\mathbf{C} = {S'}^{-1} \mathbf{A}[[T]]$, trong đó $S'$ được tạo thành từ các chuỗi mà số hạng hằng thuộc S; $\mathbf{B}[[T]]$ là hoàn thiện của vành Zariski $\mathbf{C}$; bây giờ chứng minh rằng $v' \in \mathbf{C}$, và rằng $v$ và các $u_h$ là cực biên trong $\mathbf{C}$; cuối cùng thu được một mâu thuẫn với b)).

(d) Suy ra từ c) một ví dụ về một vành địa phương giai thừa Noether $\mathbf{A}$ mà hoàn thiện $\hat{\mathbf{A}}$ là một vành Krull không là giai thừa.