Exercice 8, § 3

Soient A un anneau intègre, $x, y, z$ trois éléments non nuls de de A, où x est extrémal et $Ax \cap Ay = Axy$. Soit S l’ensemble multiplicatif des $x^n$ ($n \geq 0$), et soit $B = S^{-1}A$; on considère les anneaux de séries formelles $A[[T]]$ et $B[[T]]$.

a) Soient $i, j, k$ trois entiers $\geqslant 0$ tels que $ijk - ij - jk - ki \geqslant 0$ et $z^i \in \mathbf{A} x^j + \mathbf{A} y^k$. On considère dans $\mathbf{A}[[T]]$ l’élément $v = xy - z^{i-1} T$. Montrer qu’il existe un entier $t > 0$ et une série

dans $\mathbf{B}[[T]]$ tels que $vv' \in \mathbf{A}[[T]]$ (on déterminera par récurrence les $b_n$, en procédant dans $\mathbf{N}$ par intervalles de longueur $ij$; à l’intérieur de chaque intervalle, prendre $b_{n+1} = b_n z^{i-1} x^{-1}$; à l’extrémité de chaque intervalle, utiliser l’inégalité $ijk - ij - jk - ki \geqslant 0$.

b) On suppose que $z^{i-1} \notin \mathbf{A} x + \mathbf{A} y$. Montrer qu’il n’existe dans l’anneau $\mathbf{A}[[T]]$ aucune série formelle de terme constant $y^k$ ($k$ entier $> 0$) et qui soit un élément associé à $v$ dans $\mathbf{B}[[T]]$ (calculer le coefficient de $T$ dans le produit de $v$ et d’un élément inversible de $\mathbf{B}[[T]]$).

c) Déduire de a), b) et de l’exerc. 7 un exemple d’anneau factoriel $\mathbf{A}$ tel que l’anneau de séries formelles $\mathbf{A}[[T]]$ ne soit pas factoriel. (Avec les notations précédentes, et en supposant remplies les conditions de a) et b) sur $x, y, z, i, j, k$, montrer que $vv'$ ne peut être produit de facteurs extrémaux $u_h$ ($1 \leqslant h \leqslant r$) dans $\mathbf{A}[[T]]$; on observera que les $u_h$ sont des séries formelles dont les termes constants sont des puissances de $y$. Considérer ensuite l’anneau $\mathbf{C} = {S'}^{-1} \mathbf{A}[[T]]$, où $S'$ est formé des séries dont le terme constant est dans $S$; $\mathbf{B}[[T]]$ est le complété de l’anneau de Zariski $\mathbf{C}$; montrer que $v' \in \mathbf{C}$, et que $v$ et les $u_h$ sont extrémaux dans $\mathbf{C}$; obtenir finalement une contradiction avec b)).

d) Déduire de c) un exemple d’anneau local factoriel noethérien $\mathbf{A}$ dont le complété $\hat{\mathbf{A}}$ est un anneau de Krull non factoriel.