Bài tập 29, § 7

Cho $G = G_1 *_{A}G_2$ là tổng của hai nhóm $G_1$ và $G_2$ được ghép bởi một nhóm con $A$. a) Bây giờ chứng minh rằng $G$ có kiểu hữu hạn nếu $G_1$ và $G_2$ có kiểu hữu hạn. b) Giả sử rằng $G_1$ và $G_2$ có trình bày hữu hạn. Bây giờ chứng minh sự tương đương của hai tính chất sau: (1) $G$ có trình bày hữu hạn. (2) $A$ có kiểu hữu hạn. (Trước hết sẽ chứng minh rằng (1) kéo theo (2). Mặt khác, nếu $A$ không có kiểu hữu hạn, tồn tại một họ lọc tăng $(A_i)_{i \in I}$ các nhóm con của $A$, với $\bigcup_{i \in I} A_i = A$ và $A_i \neq A$ với mọi $i$. Gọi $H_i$ (tương ứng $H$) là hạt nhân của đồng cấu chính tắc từ $G_1 *_{A_i} G_2$ lên $G_1 *_{A_i} G_2$ (tương ứng lên $G$). Sẽ chứng minh rằng $H$ là hợp của các $H_i$ và rằng $H_i \neq H$ với mọi $i$; khi đó áp dụng Bài tập 16 d) của I, p. 145.) c) Suy ra một ví dụ về một nhóm có kiểu hữu hạn nhưng không có trình bày hữu hạn. (Lấy $G_1$ và $G_2$ là các nhóm tự do hạng 2 và $A$ là một nhóm tự do hạng vô hạn, xem I, p. 147, Bài tập 22.)