Exercice 29, § 7

Soit $G = G_1 *_{A}G_2$ la somme de deux groupes $G_1$ et $G_2$ amalgamée par un sous-groupe $A$. a) Montrer que $G$ est de type fini si $G_1$ et $G_2$ sont de type fini. b) On suppose $G_1$ et $G_2$ de présentation finie. Montrer l’équivalence des deux propriétés suivantes: (1) $G$ est de présentation finie. (2) $A$ est de type fini. (On montrera d’abord que (1) entraîne (2). D’autre part, si $A$ n’est pas de type fini, il existe une famille filtrante croissante $(A_i)_{i \in I}$ de sous-groupes de $A$, avec $\bigcup_{i \in I} A_i = A$ et $A_i \neq A$ pour tout $i$. Soit $H_i$ (resp. $H$) le noyau de l’homomorphisme canonique de $G_1 *_{A_i} G_2$ sur $G_1 *_{A_i} G_2$ (resp. sur $G$). On montrera que $H$ est réunion des $H_i$ et que $H_i \neq H$ pour tout $i$; appliquer ensuite l’exerc. 16 d) de I, p. 145.) c) En déduire un exemple de groupe de type fini qui ne soit pas de présentation finie. (Prendre pour $G_1$ et $G_2$ des groupes libres de rang 2 et pour $A$ un groupe libre de rang infini, cf. I, p. 147, exerc. 22.)