Bài tập 15, § 10

Cho $A$ là một vành; với mọi số nguyên $n \geqslant 1$, ta đồng nhất một cách chính tắc $A^n$ với môđun con của $A^{(\mathbf{N})}$ tạo bởi các phần tử có các tọa độ với chỉ số $\geqslant n$ bằng 0, và ta ký hiệu $A'_n$ là môđun con bổ sung tạo bởi các phần tử có các tọa độ với chỉ số $< n$ bằng 0. Ta đồng nhất mọi tự đồng cấu $u \in \mathbf{GL}_n(A)$ với tự đẳng cấu của

A^{(N)} mà hạn chế của nó lên A^n là u và hạn chế của nó lên A'_n là đồng nhất, sao cho $\mathbf{GL}_n(A)$ được đồng nhất với một nhóm con của $\mathbf{GL}(A^{(N)})$; ta ký hiệu F là nhóm con của $\mathbf{GL}(A^{(N)})$ là hợp của các $\mathbf{GL}_n(A)$, nói cách khác là nhóm con giữ bất biến tất cả trừ một số hữu hạn các phần tử của cơ sở chính tắc của $A^{(N)}$ (xem II, p. 207, bài tập 12). Gọi T_n là nhóm con của $\mathbf{GL}_n(A)$ sinh bởi các $B_{ij}(\lambda)$ với $0 \leq i < n,\ 0 \leq j < n,\ i \neq j,\ \lambda \in A$ (II, p. 161), và gọi T là nhóm con của F là hợp của các T_n. (a) Bây giờ chứng minh rằng với $n \geq 3$, T_n bằng nhóm giao hoán tử của nó. (b) Cho a, b là hai phần tử khả nghịch của A. Bây giờ chứng minh rằng ta có:

trong đó P, Q, P', Q' thuộc T_2. Suy ra rằng ma trận $\begin{pmatrix} aba^{-1}b^{-1} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ thuộc T_2. (c) Suy ra từ b) rằng nhóm giao hoán tử của $\mathbf{GL}_n(A)$ được chứa trong T_{2n} (thay thế A bởi $\mathbf{M}_n(A)$ trong b)). Kết luận (sử dụng a)) rằng nhóm giao hoán tử của F bằng T.