Exercice 15, § 10

Soit $A$ un anneau; pour tout entier $n \geqslant 1$, on identifie canoniquement $A^n$ au sous-module de $A^{(\mathbf{N})}$ formé des éléments dont les coordonnées d’indice $\geqslant n$ sont 0, et on désigne par $A'_n$ le sous-module supplémentaire formé des éléments dont les coordonnées d’indice $< n$ sont 0. On identifie tout endomorphisme $u \in \mathbf{GL}_n(A)$ à l’automorphisme de

A^{(N)} dont la restriction à A^n est u et la restriction à A'_n l’identité, de sorte que $\mathbf{GL}_n(A)$ est identifié à un sous-groupe de $\mathbf{GL}(A^{(N)})$; on désigne par F le sous-groupe de $\mathbf{GL}(A^{(N)})$ réunion des $\mathbf{GL}_n(A)$, autrement dit le sous-groupe laissant invariants les éléments de la base canonique de $A^{(N)}$ sauf un nombre fini d’entre eux (cf. II, p. 207, exerc. 12). Soit T_n le sous-groupe de $\mathbf{GL}_n(A)$ engendré par les $B_{ij}(\lambda)$ pour $0 \leq i < n,\ 0 \leq j < n,\ i \neq j,\ \lambda \in A$ (II, p. 161), et soit T le sous-groupe de F réunion des T_n. a) Montrer que pour $n \geq 3$, T_n est égal à son groupe des commutateurs. b) Soient a, b deux éléments inversibles de A. Montrer que l’on a:

où P, Q, P', Q' appartiennent à T_2. En déduire que la matrice $\begin{pmatrix} aba^{-1}b^{-1} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ appartient à T_2. c) Déduire de b) que le groupe des commutateurs de $\mathbf{GL}_n(A)$ est contenu dans T_{2n} (remplacer A par $\mathbf{M}_n(A)$ dans b)). Conclure (en utilisant a)) que le groupe des commutateurs de F est égal à T.