Bài tập 29, § 7

Cho $A$ là một miền nguyên, $K$ là trường phân thức của nó, $E$ là một $A$-môđun và $T(E)$ là môđun xoắn của nó.

(a) Chứng minh rằng mọi dạng tuyến tính trên $E$ đều bằng không trên $T(E)$, do đó các đối ngẫu $E^*$ và $(E/T(E))^*$ đẳng cấu chính tắc.

(b) Chứng minh rằng ánh xạ chính tắc $(E^*)_{(K)} \to (E_{(K)})^*$ là đơn ánh và rằng nó là song ánh khi $E$ sinh hữu hạn.

(c) Cho một ví dụ về một $A$-môđun $E$ không xoắn sao cho $E^* = \{0\}$ và $E_{(K)} \neq \{0\}$.