Bài tập 2, § 13

được gọi là bậc không hoàn hảo của $E$ trên $K$. Nếu $K(E^p) = E$ thì nói rằng $E$ là hoàn hảo tương đối trên $K$; nếu $E$ là hoàn hảo thì nó là hoàn hảo tương đối trên mỗi trường con của nó. Bậc không hoàn hảo (tuyệt đối) của $K$ là bậc không hoàn hảo của $K$ trên trường con nguyên tố $F_p$ của nó, hay cũng là lực lượng của một $p$-cơ sở (tuyệt đối) của $K$. a) Nếu $B$ là một $p$-cơ sở của $E$ trên $K(E^p)$, hãy chứng minh rằng với mọi số nguyên $k > 0$ ta có $E = K(E^{p^k})(B)$. b) Giả sử $E \subset K^{p^{-n}}$ với một số nguyên $n > 0$. Hãy chứng minh rằng để bậc $[E : K]$ là hữu hạn thì điều kiện cần và đủ là bậc không hoàn hảo $m_0$ của $E$ trên $K$ phải hữu hạn; khi đó $m_0$ là lực lượng nhỏ nhất của các tập hợp $S$ sao cho $E = K(S)$. Hãy chứng minh rằng nếu $m_k$ là bậc không hoàn hảo của $K(E^{p^k})$ trên $K$, thì $m_{k+1} \leq m_k$ với mọi $k$, và nếu $f = \sum_k m_k$, thì $[E : K] = p^f$.

2) a) Cho $E$ là một mở rộng của một trường $K$ có đặc số $p > 0$ và $F$ là một mở rộng của $E$. Hãy chứng minh rằng nếu $B$ là một $p$-cơ sở của $E$ trên $K(E^p)$ và $C$ là một $p$-cơ sở của $F$ trên $E(F^p)$, thì tồn tại một $p$-cơ sở của $F$ trên $K(F^p)$ được chứa trong $B \cup C$.

b) Giả sử rằng B là hữu hạn và F là một mở rộng đại số của K có bậc hữu hạn. Hãy chứng minh rằng $[E : K(E^p)] \geq [F : K(F^p)]$. Hơn nữa, nếu F là tách được trên E, hãy chứng minh rằng $[E : K(E^p)] = [F : K(F^p)]$.