Bài tập 13, § 3

Cho $K$ là một trường, $P(T, X) = a_0(T)X^n + a_1(T)X^{n-1} + \ldots + a_n(T)$ là một đa thức trong $K[T, X]$; giả sử rằng: 1" đa thức $a$ không chia hết cho $T$; 2" mỗi đa thức $a_1, ..., a_n$ đều chia hết cho $T$; 3" đa thức $a,$ không chia hết cho $T^2$. Chứng minh rằng dưới các điều kiện này $P$, xét như một đa thức của $K(T)[X]$, là bất khả quy (lập luận bằng phản chứng, dùng Bài tập 10).

\* 11) Với ký hiệu như ở Bài tập 11, hãy chứng minh rằng nếu ta lấy $g(X) = X$ và $h(X) = X^n + X + 1 \ (n \geq 2)$, thì đa thức $(g(X)h(x) - h(X)g(x))/(X-x)$ của $K(x)[X]$ là bất khả quy (dùng Bài tập 13).

\* 15) Hãy cho một ví dụ về một trường K chứa hai trường con $K_1, K_2$ sao cho K là đại số trên $K_1$ và trên $K_2$, nhưng không đại số trên $K_1 \cap K_2$. (Lấy $K = \mathbf{Q}(T)$, $K_1 = \mathbf{Q}(T^2)$, và $K_2 = \mathbf{Q}(T^2 - T)$. Hãy kiểm tra rằng $[K : K_1] = 2$, $[K : K_2] = 2$ và $K_1 \cap K_2 = \mathbf{Q}$. Để làm điều này, hãy lưu ý rằng một phần tử $f(T)$ của $K_1 \cap K_2$ thỏa mãn các điều kiện $f(-T) = f(T)$ và $f(1 - T) = f(T)$.)