Bài tập 3, Phụ lục 1

Cho A là một $k$-đại số, $\mathfrak{a}$ là một iđêan trái chính quy của A, và $u$ và $v$ là các đơn vị phải modulo $\mathfrak{a}$. a) Cho một ví dụ trong đó $u-v$ không thuộc $\mathfrak{a}$ (xem III, §9, p. 644, Bài tập 1). Suy ra một ví dụ trong đó ánh xạ $\widetilde{\mathfrak{a}}\mapsto \widetilde{\mathfrak{a}}\cap A$ (Mệnh đề 3 của VIII, p. 437) không đơn ánh.

b) Giả sử rằng iđêan $\mathfrak{a}$ là hai phía và rằng $k$-đại số $B = A/\mathfrak{a}$ không chứa bất kỳ iđêan hai phía khác không $\mathfrak{b}$ nào sao cho $B\mathfrak{b}= 0$. Chứng minh rằng $u-v$ thuộc $\mathfrak{a}$. Đây đặc biệt là trường hợp khi A là giao hoán.