Exercice 3, Annexe 1

Soient A une $k$-algèbre, $\mathfrak{a}$ un idéal à gauche régulier de $A,u$ et $v$ des unités à droite modulo $\mathfrak{a}$.

a) Donner un exemple où $u-v$ n’appartient pas à $\mathfrak{a}($cf. III, p. 196, exerc. 1 du §9). En déduire un exemple où l’application $\widetilde{\mathfrak{a}}\rightarrow \widetilde{\mathfrak{a}}\cap A$ (prop. 3 de VIII, p. 427) n’est pas injective.

b) On suppose que l’idéal $\mathfrak{a}$ est bilatère et que la $k$-algèbre $B = A/\mathfrak{a}$ ne contient pas d’idéal bilatère non nul $\mathfrak{b}$ tel que $B\mathfrak{b}= (0)$; prouver que $u-v$ appartient à $\mathfrak{a}$. Il en est ainsi en particulier lorsque A est commutative.