Bài tập 2, Phụ lục 4

Giữ ký hiệu của bài tập trước. Nếu V và W là các không gian con của E, thì ta ký hiệu bởi $V\prec W$ quan hệ “W có đối chiều hữu hạn trong V + W.”

a) Cho V là một không gian con của E. Ta ký hiệu bởi $\mathfrak{A}$ (resp. $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$) tập hợp các tự đồng cấu $u$ của V sao cho $u(V)\prec V$ (resp. $u(E)\prec V,u(V)\prec 0$). Chứng minh rằng $\mathfrak{A}$ là một đại số con trên K của End$_K$(E), rằng $\mathfrak{a}$ và $\mathfrak{b}$ là hai phía của $\mathfrak{A}$, có tổng $\mathfrak{A}$, và rằng ta có $\mathfrak{a}\cap \mathfrak{b}\subset$ End$^{pf}_K(E)$.

b) Cho $u, u'$ là các phần tử hoán vị được của $\mathfrak{A}$; ta có thể viết $u=a+b$ và $u'=a'+b'$ với $a, a'$ thuộc $\mathfrak{a}$ và $b, b'$ thuộc $\mathfrak{b}$. Chứng minh rằng phần tử $[a, a'] =aa'-a'a$ của $\mathfrak{A}$ thuộc $\mathfrak{a}\cap \mathfrak{b}$ và rằng vết của nó không phụ thuộc vào các phân tích đã chọn của $u$ và $u'$; ta ký hiệu nó bởi $\langle u, u'\rangle$.

c) Cho A là một đại số con giao hoán của $\mathfrak{A}$. Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ K-tuyến tính duy nhất Res$: \Omega_K(A)\rightarrow K$ sao cho Res($u dv$) $=\langle u, v\rangle$ với mọi $u, v$ thuộc A (sử dụng đẳng thức $[u, vw] + [v, wu] + [w, uv] = 0$).

d) Cho $u, v\in A$; giả sử $v(V)\subset V$. Cho $\pi$ là một phép chiếu của E có ảnh V. Chứng minh đẳng thức Res($u dv$) $=$ Tr[$\pi u, v]$. Suy ra rằng nếu $u(V)\subset V$, thì ta có Res $u dv= 0$ (nhận xét rằng tự đồng cấu $[\pi u, v]$ có bình phương bằng không).

e) Cho $u\in A,n\in \mathbf{N}$. Chứng minh rằng ta có Res $u^ndu= 0$. Nếu $u$ khả nghịch trong A, thì ta có Res $u^{-n}du= 0$ với $n\geqslant 2$; nếu hơn nữa $u(V)\subset V$, thì ta có Res $u^{-1}du=$ dim$_KV/u(V)$.

f ) Lấy E = K((X)) (IV, §4, No. 9, p. 38), V = K[[X]], và cho A = E tác động lên chính nó bằng các phép vị tự. Chứng minh rằng giả thiết của c) được thỏa mãn. Cho $f(X) =\sum_na_nX^ndX$ là một phần tử của K((X)). Chứng minh rằng Res $f(X)dX$ bằng $a_{-1}$. Suy ra rằng nếu $g$ là một phần tử của K[[X]] sao cho $g(0) = 0$ và $g'(0)\not= 0$, thì các hệ số của $X^{-1}$ trong các khai triển chuỗi hình thức của $f(X)$ và $f(g(X))g'(X)$ là như nhau.