Exercice 2, Annexe 4

On conserve les notations de l’exercice précédent. Si $V,W$ sont des sous-espaces de E, on note $V\prec W$ la relation « W est de codimension finie dans V + W ».

a) Soit V un sous-espace de E ; on note $\mathfrak{A}$ (resp. $\mathfrak{a}$, resp. $\mathfrak{b}$) l’ensemble des endomorphismes $u$ de V tels que $u(V)\prec V$ (resp. $u(E)\prec V$, resp. $u(V)\prec (0)$). Prouver que $\mathfrak{A}$ est une sous-K-algèbre de End$_K$(E), que $\mathfrak{a}$ et $\mathfrak{b}$ sont des idéaux bilatères de $\mathfrak{A}$, de somme $\mathfrak{A}$, et que l’on a $\mathfrak{a}\cap \mathfrak{b}\subset$ End$^{pf}_K(E)$.

b) Soient $u, u'$ des éléments permutables de $\mathfrak{A}$; on peut écrire $u=a+b,u'=a'+b'$, avec $a, a'$ dans $\mathfrak{a}$ et $b, b'$ dans $\mathfrak{b}$. Prouver que l’élément $[a, a'] =aa'-a'a$ de $\mathfrak{A}$ appartient à $\mathfrak{a}\cap \mathfrak{b}$ et que sa trace ne dépend pas des décompositions de $u$ et $u'$ choisies ; on la note $\langle u, u'\rangle$.

c) Soit A une sous-algèbre commutative de $\mathfrak{A}$. Prouver qu’il existe une unique application K-linéaire Res$: \Omega_K(A)\rightarrow K$ telle que Res($u dv$) $=\langle u, v\rangle$ quels que soient $u, v$ dans A (utiliser l’identité $[u, vw] + [v, wu] + [w, uv] = 0$).

d) Soient $u, v\in A$; on suppose $v(V)\subset V$. Soit $\pi$ un projecteur de E d’image V ; prouver l’égalité Res($u dv$) $=$ Tr[$\pi u, v]$. En déduire que si $u(V)\subset V$, on a Res $u dv= 0$ (observer que l’endomorphisme $[\pi u, v]$ est de carré nul).

e) Soient $u\in A,n\in \mathbf{N}$. Prouver qu’on a Res $u^ndu= 0$. Si $u$ est inversible dans A, on a Res $u^{-n}du= 0$ pour $n\geqslant 2$; si de plus $u(V)\subset V$, on a Res $u^{-1}du=$ dim$_KV/u(V)$.

f ) On prend E = K((X)) (IV, p. 37), V = K[[X]], et A = E opérant sur lui-même par homothéties ; démontrer que les hypothèses de c) sont satisfaites. Soit $f(X) =\sum_na_nX^ndX$ un élément de K((X)) ; prouver que Res $f(X)dX$ est égal à $a_{-1}$. En déduire que si $g$ est un élément de K[[X]] tel que $g(0) = 0$ et $g'(0)\not= 0$, le coefficient de $X^{-1}$ est le même dans le développement en série de $f(X)$ et de $f(g(X))g'(X)$.