Bài tập 17, § 1

Cho E là một monoid, $e$ là phần tử đơn vị của nó, S là một tập con của E, và $S'$ là monoid con của E sinh bởi S. Ta nói rằng S chấp nhận một phép tính phân thức trái trên E nếu hai điều kiện sau đây (mang tính hằng đúng khi E giao hoán) được thỏa mãn:

(i) Với mọi $a\in E$ và mọi $s\in S$, tồn tại $b\in E$ và $t\in S'$ sao cho $ta=bs$.

(ii) Với mọi $a\in E,b\in E$, và $s\in S$ sao cho $as=bs$, tồn tại một $t\in S'$ sao cho $ta=tb$.

a) Giả sử rằng tồn tại một đồng cấu $u$ từ E vào một monoid $E'$ sao cho mọi phần tử của $u(S)$ đều khả nghịch trong $E'$ và sao cho với mọi $a, b$ trong E thỏa mãn $u(a) =u(b)$, tồn tại một $s\in S'$ sao cho $sa=sb$. Khi đó S thừa nhận một phép tính phân thức trái trên E.

b) Giả sử rằng S thừa nhận một phép tính phân thức trái trên E. Trong $E\times S'$, ta ký hiệu bởi $(a, s)\sim (b, t)$ quan hệ “tồn tại $c$ và $d$ trong E sao cho ta có $ca=db$ và $cs=dt\in S'$.” Đây là một quan hệ tương đương. Ta đặt $S^{-1}E = (E\times S')/\sim$, và ta ký hiệu bởi $\varepsilon : E\rightarrow S^{-1}E$ ánh xạ gửi $a\in E$ lên lớp của $(a, e)$. Tồn tại một cấu trúc monoïde duy nhất trên $S^{-1}E$ sao cho $\varepsilon$ là một đồng cấu có đơn vị, sao cho $\varepsilon (s)$ là khả nghịch với mọi $s\in S$, và sao cho đối với $(a, s)\in E\times S'$, lớp của $(a, s)$ trong $S^{-1}E$ bằng $\varepsilon (s)^{-1}\varepsilon (a)$. Ta nói rằng $S^{-1}E$ là monoïde phân thức trái của E liên kết với S. Nó trùng với monoïde đã được định nghĩa trong I, §2, No. 4, p. 18 khi monoïde E là giao hoán.

c) Cho $a, b$ thuộc E. Ta có $\varepsilon (a) =\varepsilon (b)$ khi và chỉ khi tồn tại một $s\in S'$ sao cho $sa=sb$. Ánh xạ $\varepsilon$ là đơn ánh (tương ứng, song ánh) khi và chỉ khi mọi phần tử của S đều chính quy phải (tương ứng, khả nghịch).

d) Cho $f$ là một đồng cấu có đơn vị từ E vào một monoid F sao cho mọi phần tử của $f(S)$ đều khả nghịch trong F. Tồn tại một đồng cấu duy nhất $\overline{f}: S^{-1}E\rightarrow F$ sao cho $f=\overline{f}\circ s$. Nếu $f$ là đơn ánh, thì $\overline{f}$ là đơn ánh. e) Ta nói rằng S thừa nhận một phép tính phân thức phải trên E nếu nó thừa nhận một phép tính phân thức trái trên monoid đối $E^o$ của E. Trong trường hợp đó, định nghĩa monoid các phân thức phải ES$^{-1}$ của E liên kết với S, nhận thấy rằng ta có (ES$^{-1}$)$^o= S^{-1}(E^o)$, và viết lại b) cho các monoid phân thức phải. Nếu S thừa nhận một phép tính phân thức trái và phải trên E, thì các monoid $S^{-1}E$ và ES$^{-1}$ đẳng cấu chính tắc.