Exercice 17, § 1

Soient E un monoïde, $e$ son élément neutre, S une partie de E et $S'$ le sous-monoïde de E engendré par S. On dit que S permet un calcul des fractions à gauche sur E si les deux conditions suivantes (tautologiques lorsque E est commutatif) sont satisfaites :

(i) Pour tout $a\in E$ et tout $s\in S$, il existe $b\in E$ et $t\in S'$ tels que $ta=bs$.

(ii) Quels que soient $a\in E,b\in E$ et $s\in S$ tels que $as=bs$, il existe $t\in S'$ tel que $ta=tb$.

a) Supposons qu’il existe un homomorphisme $u$ de E dans un monoïde $E'$ tel que tout élément de $u(S)$ soit inversible dans $E'$ et que, quels que soient $a, b$ dans E tels que $u(a) =u(b)$, il existe $s\in S'$ tel que $sa=sb$. Alors S permet un calcul des fractions à gauche sur E.

b) Supposons que S permette un calcul des fractions à gauche sur E. Dans $E\times S'$, on note $(a, s)\sim (b, t)$ la relation : « il existe $c$ et $d$ dans E tels que l’on ait $ca=db$ et $cs=dt\in S'$ ». C’est une relation d’équivalence. On pose $S^{-1}E = (E\times S')/\sim$ et l’on note $\varepsilon : E\rightarrow S^{-1}E$ l’application qui à $a\in E$ associe la classe de $(a, e)$. Il existe sur $S^{-1}E$ une unique structure de monoïde telle que $\varepsilon$ soit un homomorphisme unifère, que $\varepsilon (s)$ soit inversible pour tout $s\in S$ et que, pour $(a, s)\in E\times S'$, la classe dans $S^{-1}E$ de $(a, s)$ soit égale à $\varepsilon (s)^{-1}\varepsilon (a)$. On dit que $S^{-1}E$ est le monoïde des fractions à gauche de E associé à S. Il coïncide avec celui défini en I, p. 17 lorsque le monoïde E est commutatif.

c) Soient $a, b$ dans E. Pour que l’on ait $\varepsilon (a) =\varepsilon (b)$, il faut et il suffit qu’il existe $s\in S'$ tel que $sa=sb$. Pour que $\varepsilon$ soit injectif (resp. bijectif), il faut et il suffit que tout élément de S soit simplifiable à droite (resp. inversible).

d) Soit $f$ un homomorphisme unifère de E dans un monoïde F tel que tout élément de $f(S)$ soit inversible dans F. Il existe un homomorphisme $\overline{f}: S^{-1}E\rightarrow F$ et un seul tel que $f=\overline{f}\circ s$. Si $f$ est injectif, $\overline{f}$ est injectif.

e) On dit que S permet un calcul des fractions à droite sur E s’il permet un calcul des fractions à gauche sur le monoïde $E^o$ opposé de E. Définir dans ce cas le monoïde des fractions à droite ES$^{-1}$ de E associé à S, observer que l’on a (ES$^{-1}$)$^o= S^{-1}(E^o)$, et réécrire b) pour les monoïdes de fractions à droite. Si S permet un calcul des fractions à gauche et à droite sur E, les monoïdes $S^{-1}E$ et ES$^{-1}$ sont canoniquement isomorphes.