Bài tập 18, § 1

a) Cho A là một vành, S là một tập con của A, và $S'$ là tập con nhỏ nhất của A chứa 1 và S và ổn định đối với phép nhân. Ta nói rằng S thừa nhận một phép tính phân thức trái trên A nếu hai điều kiện sau đây (mang tính chất đồng nhất thức khi A giao hoán) được thỏa mãn:

(i) Với mọi $a\in A$ và mọi $s\in S$, tồn tại $b\in A$ và $t\in S'$ sao cho $ta=bs$.

(ii) Với mọi $a\in A$ và $s\in S$ sao cho $as= 0$, tồn tại một $t\in S'$ sao cho $ta= 0$.

Điều này tương đương với việc nói rằng S thừa nhận một phép tính phân thức trái trên monoïde thu được bằng cách trang bị cho tập hợp A chỉ phép nhân (Bài tập 17). Hãy chứng minh rằng trên monoïde nhân $S^{-1}A$, khi đó tồn tại một phép cộng duy nhất sao cho $S^{-1}A$, được trang bị phép cộng này và phép nhân của nó, là một vành và ánh xạ chính tắc $\varepsilon : A\rightarrow S^{-1}A$ (loc. cit.) là một đồng cấu vành. Ta nói rằng $S^{-1}A$ là vành các phân thức trái của A liên kết với S. Khi A giao hoán, vành này trùng với vành được định nghĩa trong I, §8, No. 12, p. 113.

b) Tập hợp S thừa nhận một phép tính phân thức trái trên A khi và chỉ khi tồn tại một vành B và một đồng cấu vành $u: A\rightarrow B$ sao cho mọi phần tử của $u(S)$ đều khả nghịch trong B và sao cho với mọi $a\in u^{-1}$(0), tồn tại một $s\in S$ sao cho $sa= 0$.

c) Giả sử rằng S thừa nhận một phép tính phân thức trái trên A. Hạt nhân của đồng cấu chính tắc $\varepsilon : A\rightarrow S^{-1}A$ là tập hợp các $a\in A$ sao cho tồn tại một $s\in S$ với $sa= 0$.

Cho $f$ là một đồng cấu từ A vào một vành B sao cho mọi phần tử của $f(S)$ đều khả nghịch trong B. Tồn tại một đồng cấu duy nhất $\overline{f}: S^{-1}A\rightarrow F$ sao cho $f=\overline{f}\circ s$. Nếu $f$ đơn ánh, thì $\overline{f}$ đơn ánh.

d) Phát biểu các mệnh đề tương tự với a), b), c) cho một phép tính phân thức phải; nếu S thừa nhận một phép tính phân thức phải trên A, ta ký hiệu vành các phân thức phải của A bởi AS$^{-1}$. Trong trường hợp này, ta có (AS$^{-1}$)$^o= S^{-1}(A^o)$. Nếu S thừa nhận một phép tính phân thức trái và phải trên A, thì các vành $S^{-1}A$ và AS$^{-1}$ đẳng cấu chính tắc.

e) Cho A là một vành khác không không có ước số của không. Khi đó A thừa nhận một trường các phân thức trái (I, §9, p. 177, Bài tập 15) khi và chỉ khi tập hợp S các phần tử khác không của A thừa nhận một phép tính phân thức trái trên A, và trong trường hợp này, $S^{-1}A$ là trường các phân thức trái của A.