Exercice 18, § 1

a) Soient A un anneau, S une partie de A et $S'$ la plus petite partie de A, contenant 1 et S, stable par multiplication. On dit que S permet un calcul des fractions à gauche sur A si les deux conditions suivantes (tautologiques lorsque A est commutatif) sont satisfaites :

(i) Pour tout $a\in A$ et tout $s\in S$, il existe $b\in A$ et $t\in S'$ tels que $ta=bs$.

(ii) Quels que soient $a\in A$ et $s\in S$ tels que $as= 0$, il existe $t\in S'$ tel que $ta= 0$.

Il revient au même de dire que S permet un calcul des fractions à gauche sur le monoïde obtenu en munissant l’ensemble A de la seule multiplication (exerc. 17). Démontrer qu’il existe alors sur le monoïde multiplicatif $S^{-1}A$ une unique addition telle que $S^{-1}A$, muni de cette addition et de sa multiplication, soit un anneau et que l’application canonique $\varepsilon : A\rightarrow S^{-1}A ($loc. cit.) soit un homomorphisme d’anneaux. On dit que $S^{-1}A$ est l’anneau des fractions à gauche de A associé à S. Lorsque A est commutatif, il coïncide avec celui défini en I, p. 108.

b) Pour que S permette un calcul des fractions à gauche sur A, il faut et il suffit qu’il existe un anneau B et un homomorphisme d’anneaux $u: A\rightarrow B$ tel que tout élément de $u(S)$ soit inversible dans B et que, quel que soit $a\in u^{-1}$(0), il existe $s\in S$ tel que $sa= 0$.

c) Supposons que S permette un calcul des fractions à gauche sur A. Le noyau de l’homomorphisme canonique $\varepsilon : A\rightarrow S^{-1}A$ est l’ensemble des $a\in A$ tels qu’il existe $s\in S$, avec $sa= 0$.

Soit $f$ un homomorphisme de A dans un anneau B tel que tout élément de $f(S)$ soit inversible dans B. Il existe un homomorphisme $\overline{f}: S^{-1}A\rightarrow F$ et un seul tel que $f=\overline{f}\circ s$. Si $f$ est injectif, $\overline{f}$ est injectif.

d) Formuler les énoncés analogues à a), b), c), relatifs au calcul des fractions à droite ; si S permet un calcul des fractions à droite sur A, on note AS$^{-1}$ l’anneau des fractions à droite de A. On a dans ce cas (AS$^{-1}$)$^o= S^{-1}(A^o)$. Si S permet un calcul des fractions à gauche et à droite sur A, les anneaux $S^{-1}A$ et AS$^{-1}$ sont canoniquement isomorphes.

e) Soit A un anneau non nul sans diviseur de zéro. Pour que A admette un corps des fractions à gauche (I, p. 155, exerc. 15), il faut et il suffit que l’ensemble S des éléments non nuls de A permette un calcul des fractions à gauche sur A, et dans ce cas $S^{-1}A$ est le corps des fractions à gauche de A.