Bài tập 22, § 1

Cho G là một nhóm và H một nhóm con chuẩn tắc của G sao cho nhóm thương $G/H$ đẳng cấu với $\mathbf{Z}$. Cho $g$ là một phần tử của G mà ảnh chính tắc trong $G/H$ sinh ra $G/H$. Cho C là một vành giao hoán, A là đại số C[H] của H trên C (III, §2, No. 6, p. $446$)$, (e_h)_{h\in H}$ là cơ sở chính tắc của nó, và $\sigma$ là tự đẳng cấu của A gửi $e_h$ tới $e_{ghg^{-1}}$.

a) Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu duy nhất $u$ từ vành $B = A[X]_{\sigma}$ tới vành C[G] kéo dài đơn ánh chính tắc của A = C[H] vào C[G] và gửi X tới phần tử $e_g$ của cơ sở chính tắc của C[G].

b) Đặt $S =\{X\}$. Chứng minh rằng $u$ mở rộng thành một đẳng cấu từ vành $S^{-1}B$ (x. Bài tập 21) lên C[G]. Suy ra rằng nếu vành C[H] là Noether trái, thì vành C[G] cũng vậy.