Exercice 22, § 1

Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G tel que le groupe quotient $G/H$ soit isomorphe à $\mathbf{Z}$. Soit $g$ un élément de G dont l’image canonique dans $G/H$ engendre $G/H$. Soient C un anneau commutatif, A l’algèbre C[H] de H sur C (III, p. $19$)$, (e_h)_{h\in H}$ sa base canonique et $\sigma$ l’automorphisme de A qui applique $e_h$ sur $e_{ghg^{-1}}$.

a) Démontrer qu’il existe un homomorphisme $u$ et un seul de l’anneau $B = A[X]_{\sigma}$ dans l’anneau C[G] qui prolonge l’injection canonique de A = C[H] dans C[G] et applique X sur l’élément $e_g$ de la base canonique de C[G].

b) Posons $S =\{X\}$. Démontrer que $u$ se prolonge en un isomorphisme de l’anneau $S^{-1}B ($cf. exerc. 21) sur C[G]. En déduire que si l’anneau C[H] est noethérien à gauche, l’anneau C[G] est noethérien à gauche.