Bài tập 25, § 1

Giữ ký hiệu của Bài tập 24.

a) Với mọi nhóm con H của G, đặt $I_H$ là hạt nhân của toàn cấu chính tắc $\mathbf{Z}[G]\rightarrow \mathbf{Z}^{(G/H)}$. Khi đó ánh xạ $H\mapsto I_H$ là đơn ánh tăng từ tập hợp các nhóm con của G vào tập hợp các iđêan trái của $\mathbf{Z}[G]$; nếu H là một nhóm con chuẩn của G, thì iđêan $I_H$ là hai phía.

b) Giả sử vành A[G] là Noether trái. Khi đó nó cũng là Noether phải. Với mọi nhóm con H của G, vành A[H] là Noether trái; đặc biệt, vành A là Noether. Nếu H là chuẩn trong G, thì vành $A[G/H]$ là Noether trái. Mọi nhóm con của G đều có một hệ sinh hữu hạn.

c) Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương:

(i) Nhóm G có một chuỗi hợp thành mà các thương số của nó hữu hạn hoặc đẳng cấu với $\mathbf{Z}$.

(ii) Nhóm G có một chuỗi hợp thành $(G_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ sao cho $G_1$ có chỉ số hữu hạn trong G và $G_i/G_{i+1}$ đẳng cấu với $\mathbf{Z}$ với $0\leqslant i\leqslant n-1$.

Khi các điều kiện đó được thỏa mãn và vành A là Noether, thì vành A[G] là Noether trái (dùng Bài tập 22).