Exercice 25, § 1

On conserve les notations de l’exerc. 24.

a) Pour tout sous-groupe H de G, soit $I_H$ le noyau de la surjection canonique $\mathbf{Z}[G]\rightarrow \mathbf{Z}^{(G/H)}$. Alors l’application $H\rightarrow I_H$ est une injection croissante de l’ensemble des sous-groupes de G dans celui des idéaux à gauche de $\mathbf{Z}[G]$; si H est un sous-groupe distingué de G, l’idéal $I_H$ est bilatère.

b) Supposons que l’anneau A[G] soit noethérien à gauche. Il est alors aussi noethérien à droite. Pour tout sous-groupe H de G, l’anneau A[H] est noethérien à gauche ; en particulier l’anneau A est noethérien. Si H est distingué dans G, l’anneau $A[G/H]$ est noethérien à gauche. Tout sous-groupe de G admet un système générateur fini.

c) Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Le groupe G possède une suite de composition dont les quotients sont finis ou isomorphes à $\mathbf{Z}$;

(ii) Le groupe G possède une suite de composition $(G_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ telle que $G_1$ soit d’indice fini dans G et que $G_i/G_{i+1}$ soit isomorphe à $\mathbf{Z}$pour $0\leqslant i\leqslant n-1$.

Lorsqu’elles sont satisfaites et que l’anneau A est noethérien, l’anneau A[G] est noethérien à gauche (utiliser l’exerc. 22).