Bài tập 10, § 11

Cho A là một vành. Ký hiệu $\mathbf{G}\mathbf{L}_{\infty}(A)$ là nhóm con của $\mathbf{G}\mathbf{L}(A^{(\mathbf{N})})$ gồm các ma trận X sao cho $X-I$ có hữu hạn nhiều phần tử khác không, và ký hiệu E(A) là nhóm con của $\mathbf{G}\mathbf{L}_{\infty}(A)$ sinh bởi các ma trận I $+\lambda E_{ij}$ với $i, j$ trong $\mathbf{N}$ và $i\not=j$ cùng $\lambda \in A$; nó là nhóm dẫn xuất của $\mathbf{G}\mathbf{L}_{\infty}(A)$ (II, §10, p. 422, Bài tập 15). Ký hiệu nhóm thương $\mathbf{G}\mathbf{L}_{\infty}(A)/E(A)$ là $K_1(A)$; luật nhóm của nó được viết theo phép cộng. Mọi đồng cấu vành $f: A\rightarrow B$ cảm sinh một đồng cấu nhóm $f^*: K_1(A)\rightarrow K_1(B)$.

a) Với mọi số nguyên $n\geqslant 1$, cho $\iota_n:\mathbf{G}\mathbf{L}_n(A)\rightarrow K_1(A)$ là đồng cấu gửi $X\in \mathbf{G}\mathbf{L}_n(A)$ đến lớp của ma trận $\begin{pmatrix} X & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix}$. Chứng minh rằng nếu vành A là địa phương, thì $\iota_n$ là toàn ánh với mọi $n$ (dùng Bài tập 17 của VIII, p. 42).

b) Giả sử vành A giao hoán. Xây dựng một đồng cấu toàn ánh $d_A: K_1(A)\rightarrow A^*$ sao cho $d_A\circ \iota_n=$ det với mọi $n$. Hơn nữa, nếu A là địa phương hoặc Euclid, thì các đồng cấu $d_A$ và $\iota_1$ là các song ánh nghịch đảo của nhau.

c) Cho I là một tập có hướng phải, $(A_i, f_{ji})$ là một hệ trực tiếp các vành, và A là giới hạn của nó. Chứng minh rằng $K_1(A)$ là giới hạn của hệ trực tiếp các nhóm $(K_1(A_i), f_{ji}^*)$.