Exercice 10, § 11

Soit A un anneau. On note $\mathbf{G}\mathbf{L}_{\infty}(A)$ le sous-groupe de $\mathbf{G}\mathbf{L}(A^{(\mathbf{N})})$ formé des matrices X telles que $X-I$n’ait qu’un nombre fini d’éléments non nuls, et E(A) le sous-groupe de $\mathbf{G}\mathbf{L}_{\infty}(A)$ engendré par les matrices I $+\lambda E_{ij}$ pour $i, j$ dans $\mathbf{N},i\not=j,\lambda \in A$; c’est le groupe dérivé de $\mathbf{G}\mathbf{L}_{\infty}(A)$ (II, p. 208, exerc. 15). On désigne par $K_1(A)$ le groupe quotient $\mathbf{G}\mathbf{L}_{\infty}(A)/E(A)$; sa loi de groupe est notée additivement. Tout homomorphisme d’anneaux $f: A\rightarrow B$ induit un homomorphisme de groupes $f^*: K_1(A)\rightarrow K_1(B)$.

a) Pour tout entier $n\geqslant 1$, soit $\iota_n:\mathbf{G}\mathbf{L}_n(A)\rightarrow K_1(A)$ l’homomorphisme qui associe à $X\in \mathbf{G}\mathbf{L}_n(A)$ la classe de la matrice $\begin{pmatrix} X & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix}$. Si l’anneau A est local, prouver que $\iota_n$ est surjectif pour tout $n$ (utiliser l’exerc. 17 de VIII, p. 39).

b) On suppose l’anneau A commutatif. Construire un homomorphisme surjectif $d_A:$ $K_1(A)\rightarrow A^*$ tel que $d_A\circ \iota_n=$ det pour tout $n$. Si de plus A est local ou euclidien, les homomorphismes $d_A$ et $\iota_1$ sont des bijections réciproques l’une de l’autre.

c) Soient I un ensemble ordonné filtrant à droite, $(A_i, f_{ji})$ un système inductif d’anneaux et A sa limite. Prouver que $K_1(A)$ est la limite du système inductif de groupes $(K_1(A_i), f_{ji}^*)$.