Bài tập 5, § 11

Cho A là một vành. Ký hiệu $\mathscr{I}(A)$ là tập hợp các cặp $(n, p)$ với $n$ là một số nguyên và $p$ là một phần tử lũy đẳng trong $M_n(A)$. Định nghĩa một luật phép cộng trên $\mathscr{I}(A)$ bằng cách đặt $(m, p) + (n, q) = (m+n,\begin{pmatrix} p & 0 \\ 0 & q \end{pmatrix}$ ).

a) Cho $\mathscr{P}(A^o)$ là môđun nửa nhóm các lớp của các A-môđun phải xạ ảnh sinh hữu hạn. Cho $\varphi :\mathscr{I}(A)\rightarrow \mathscr{P}(A^o)$ là ánh xạ được định nghĩa bởi $\varphi (n, p) =$ cl(Im $p$). Chứng minh rằng $\varphi$ là một đồng cấu toàn ánh và rằng các phần tử $(m, p)$ và $(n, q)$ của $\mathscr{I}(A)$ có cùng ảnh qua $\varphi$ khi và chỉ khi tồn tại $a\in M_{m,n}(A)$ và $b\in$ $M_{n,m}(A)$ sao cho $ab=p$ và $ba=q$.

b) Suy ra rằng các nhóm $K_0(A)$ và $K_0(A^o)$ là đẳng cấu.