Exercice 5, § 11

Soit A un anneau. Notons $\mathscr{I}(A)$ l’ensemble des couples $(n, p)$ où $n$ est un entier et $p$ un élément idempotent de $M_n(A)$. On définit une loi d’addition sur $\mathscr{I}(A)$ en posant $(m, p) + (n, q) = (m+n,\begin{pmatrix} p & 0 \\ 0 & q \end{pmatrix})$.

a) Soit $\mathscr{P}(A^o)$ le monoïde des classes de A-modules à droite projectifs de type fini ; soit $\varphi :\mathscr{I}(A)\rightarrow \mathscr{P}(A^o)$ l’application définie par $\varphi (n, p) =$ cl(Im $p$). Démontrer que $\varphi$ est un homomorphisme surjectif et que des éléments $(m, p)$ et $(n, q)$ de $\mathscr{I}(A)$ ont même image par $\varphi$ si et seulement s’il existe $a\in M_{m,n}(A)$ et $b\in M_{n,m}(A)$ tels que $ab=p$ et $ba=q$.

b) En déduire que les groupes $K_0(A)$ et $K_0(A^o)$ sont isomorphes.