Bài tập 8, § 11

Cho $A,B$, và C là các vành và $f: A\rightarrow C$ và $g: B\rightarrow C$ là các đồng cấu vành; giả sử rằng $f$ là toàn ánh. Xét vành con D của $A\times B$ gồm các cặp $(a, b)$ sao cho $f(a) =g(b)$. Cho M là một A-môđun, N là một B-môđun, và $u$ là một C-đẳng cấu từ $C\otimes_AM$ đến $C\otimes_BN$. Ký hiệu P là môđun con D của $M\times N$ gồm các cặp $(m, n)$ sao cho $u(1\otimes m) = 1\otimes n$.

a) Giả sử các môđun M và N có các cơ sở hữu hạn $(e_i)_{i\in I}$ và $(f_j)_{j\in J}$ và ma trận của $u$ trong các cơ sở $(1\otimes e_i)$ và $(1\otimes f_j)$ là ảnh của một ma trận khả nghịch $(a_{ji})$ với các phần tử trong A. Hãy chứng minh rằng D-môđun P là tự do; chính xác hơn, các phần tử $(e_i,\sum_ja_{ji}f_j)_{i\in I}$ tạo thành một cơ sở của P.

b) Cho $p$ và $q$ là các số nguyên và $X\in \mathbf{M}_{p,q}(C)$ và $Y\in \mathbf{M}_{q,p}(C)$ là các ma trận sao cho XY = $I_p$ và YX = $I_q$. Hãy chứng minh rằng ma trận vuông $\begin{pmatrix} X & 0 \\ 0 & Y \end{pmatrix}$ là ảnh của một ma trận khả nghịch có các phần tử trong A, bằng cách dùng đẳng thức

=.

0 Y 0 $I_q-YI_q$ 0 $I_qI_q$ 0

c) Giả sử các môđun M và N là tự do và sinh hữu hạn. Suy ra từ a) và b) rằng D-môđun P là xạ ảnh và sinh hữu hạn.

d) Giả sử các môđun M và N là xạ ảnh và sinh hữu hạn. Xây dựng một A-môđun $M'$ và một B-môđun $N'$ sao cho $M\oplus M'$ và $N\oplus N'$ là tự do và sinh hữu hạn và các C-môđun $C\otimes_AM'$ và $C\otimes_BN'$ là đẳng cấu. Suy ra rằng D-môđun P là xạ ảnh và sinh hữu hạn.

e) Chứng minh rằng các đồng cấu chính tắc $A\otimes_DP\rightarrow M$ và $B\otimes_DP\rightarrow N$ suy ra từ hai phép chiếu là song ánh (rút gọn như trên về trường hợp khi các điều kiện của a) được thỏa mãn).

f ) Ngược lại, cho $P'$ là một D-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn; đặt $M'= A\otimes_DP'$ và $N'= B\otimes_DP'$, và ký hiệu $u': C\otimes_AM'\rightarrow C\otimes_BN'$ là đẳng cấu chính tắc. Chứng minh rằng đồng cấu chính tắc từ $P'$ đến $M'\times N'$ cảm sinh một đẳng cấu D-tuyến tính từ $P'$ đến D-môđun liên kết với $(M',N', u')$.

g) Ký hiệu $\varphi_0: K_0(D)\rightarrow K_0(A)\times K_0(B)$ và $\psi_0: K_0(A)\times K_0(B)\rightarrow K_0(C)$ là các đồng cấu sao cho

$\varphi_0([P]) = ([A\otimes_DP],[B\otimes_DP])$ và $\psi_0([M],[N]) = [C\otimes_AM]-[C\otimes_BN]$.

Chứng minh rằng dãy

khớp. Chứng minh rằng nếu, hơn nữa, tồn tại một đồng cấu vành $s: C\rightarrow A$ sao cho $f\circ s=$ Id$_C$, thì $\varphi_0$ là đơn ánh và $\psi_0$ là toàn ánh.