Exercice 8, § 11

Soient $A,B$ et C des anneaux, $f: A\rightarrow C$ et $g: B\rightarrow C$ des homomorphismes d’anneaux ; on suppose que $f$ est surjectif. On considère le sous-anneau D de $A\times B$ formé des couples $(a, b)$ tels que $f(a) =g(b)$. Soient M un A-module, N un B-module et $u$ un C-isomorphisme de $C\otimes_AM$ sur $C\otimes_BN$. On note P le sous-D-module de $M\times N$ formé des couples $(m, n)$ tels que $u(1\otimes m) = 1\otimes n$.

a) On suppose que les modules M et N admettent des bases finies $(e_i)_{i\in I}$ et $(f_j)_{j\in J}$, et que la matrice de $u$ dans les bases $(1\otimes e_i)$ et $(1\otimes f_j)$ est l’image d’une matrice inversible $(a_{ji})$ à éléments dans A. Prouver que le D-module P est libre ; plus précisément, les éléments $(e_i,\sum_ja_{ji}f_j)_{i\in I}$ forment une base de P.

b) Soient $p, q$ des entiers, X $\in \mathbf{M}_{p,q}(C)$ et Y $\in \mathbf{M}_{q,p}(C)$ des matrices telles que XY = $I_p$ et YX = $I_q$. Prouver que la matrice carrée $\begin{pmatrix} X & 0 \\ 0 & Y \end{pmatrix}$ est l’image d’une matrice inversible à éléments dans A en utilisant l’identité

=.

0 Y 0 $I_q-YI_q$ 0 $I_qI_q$ 0

c) On suppose que les modules M et N sont libres de type fini ; déduire de a) et b) que le D-module P est projectif de type fini.

d) On suppose que M et N sont projectifs de type fini. Construire un A-module $M'$ et un B-module $N'$ tels que $M\oplus M'$ et $N\oplus N'$ soient libres de type fini, et que les C-modules $C\otimes_AM'$ et $C\otimes_BN'$ soient isomorphes. En déduire que le D-module P est projectif de type fini.

e) Prouver que les homomorphismes canoniques $A\otimes_DP\rightarrow M$ et $B\otimes_DP\rightarrow N$ déduits des deux projections sont bijectifs (se ramener comme ci-dessus au cas où les hypothèses de a) sont satisfaites).

f ) Inversement, soit $P'$ un D-module projectif de type fini ; on pose $M'= A\otimes_DP'$ et $N'= B\otimes_DP'$, et l’on note $u': C\otimes_AM'\rightarrow C\otimes_BN'$ l’isomorphisme canonique. Prouver que l’homomorphisme canonique de $P'$ dans $M'\times N'$ induit un isomorphisme D-linéaire de $P'$ sur le D-module associé à $(M',N', u')$.

g) Notons $\varphi_0: K_0(D)\rightarrow K_0(A)\times K_0(B)$ et $\psi_0: K_0(A)\times K_0(B)\rightarrow K_0(C)$ les homomorphismes tels que

$\varphi_0([P]) = ([A\otimes_DP],[B\otimes_DP])$ et $\psi_0([M],[N]) = [C\otimes_AM]-[C\otimes_BN]$.

Prouver que la suite

est exacte. Si de plus il existe un homomorphisme d’anneaux $s: C\rightarrow A$ tel que $f\circ s=$ Id$_C$, démontrer que $\varphi_0$ est injectif et que $\psi_0$ est surjectif.