Bài tập 9, § 11

Cho A là một nửa vành, nghĩa là một đại số $\mathbf{Z}$ kết hợp không nhất thiết có đơn vị, và $\widetilde{A}$ là đại số $\mathbf{Z}$ suy ra từ A bằng cách thêm một phần tử đơn vị (III, §1, No. 2, p. 431); tập hợp $\widetilde{A}$ bằng $\mathbf{Z}\times A$. Ký hiệu đồng cấu $(n, a)\mapsto n$ bởi $\varepsilon :\widetilde{A}\rightarrow \mathbf{Z}$, và ký hiệu hạt nhân của đồng cấu $\varepsilon^*: K_0(\widetilde{A})\rightarrow K_0(\mathbf{Z})$ liên kết với $\varepsilon$ bởi $K_0(A)$.

a) Chứng minh rằng nếu A có đơn vị, thì $\widetilde{A}$ đẳng cấu với vành tích $\mathbf{Z}\times A$ và định nghĩa của $K_0(A)$ tương thích với định nghĩa đã cho trong No.8.

b) Cho A và B là các nửa vành và $f: A\rightarrow B$ là một đồng cấu. Cho $\widetilde{f}:\widetilde{A}\rightarrow \widetilde{B}$ là đồng cấu vành được định nghĩa bởi $\widetilde{f}((n, a)) = (n, f(a))$. Chứng minh rằng $\widetilde{f}^*$ ánh xạ $K_0(A)$ vào $K_0(B)$. Ký hiệu đồng cấu suy ra từ $\widetilde{f}^*$ bởi $f^*: K_0(A)\rightarrow K_0(B)$. c) Giả sử rằng $f$ là toàn ánh; ký hiệu hạt nhân của nó bởi $\mathfrak{a}$ và đơn ánh chính tắc của $\mathfrak{a}$ vào A bởi $i$. Chứng minh rằng dãy

là khớp. Hơn nữa, nếu tồn tại một đồng cấu các nửa vành $s: B\rightarrow A$ sao cho $f\circ s=$ Id$_B$, thì $i^*$ là đơn ánh và $f^*$ là toàn ánh (áp dụng Bài tập 8 bằng cách trước hết lấy $(A,A,B)$ rồi lấy $(D,\mathbf{Z},A)$ cho bộ ba $(A,B,C)$).

d) Chứng minh rằng các kết luận của các Bài tập 7 và 8 mở rộng sang trường hợp các nửa vành. e) Ký hiệu bởi $\mathbf{M}_{\infty}(A)$ nửa vành các ma trận $\mathbf{N}\times \mathbf{N}$ với các phần tử trong A chỉ có hữu hạn phần tử khác không. Cho $f: A\rightarrow \mathbf{M}_{\infty}(A)$ là ánh xạ gửi $a\in A$ tới ma trận $(b_{ij})$ với $b_{00}=a$ và $b_{ij}= 0$ nếu $(i, j)\not= (0,0)$. Chứng minh rằng $f^*$ là một đẳng cấu từ $K_0(A)$ đến $K_0(\mathbf{M}_{\infty}(A))$ (sử dụng các Bài tập 4 và 7).