Exercice 9, § 11

Soient A un pseudo-anneau, c’est-à-dire une $\mathbf{Z}$-algèbre associative non nécessairement unifère, $\widetilde{A}$ la $\mathbf{Z}$-algèbre déduite de A par adjonction d’un élément unité (III, p. 5) ; l’ensemble $\widetilde{A}$ est égal à $\mathbf{Z}\times A$. On note $\varepsilon :\widetilde{A}\rightarrow \mathbf{Z}$l’homomorphisme $(n, a)\rightarrow n$. On désigne par $K_0(A)$ le noyau de l’homomorphisme $\varepsilon^*: K_0(\widetilde{A})\rightarrow K_0(\mathbf{Z})$ associé à $\varepsilon$.

a) Si A est unifère, démontrer que $\widetilde{A}$ est isomorphe à l’anneau produit $\mathbf{Z}\times A$ et que la définition de $K_0(A)$ est compatible avec celle donnée au n$^o8$.

b) Soient A et B des pseudo-anneaux et $f: A\rightarrow B$ un homomorphisme. Soit $\widetilde{f}:\widetilde{A}\rightarrow$ $\widetilde{B}$ l’homomorphisme d’anneaux défini par $\widetilde{f}((n, a)) = (n, f(a))$. Prouver que $\widetilde{f}^*$ applique $K_0(A)$ dans $K_0(B)$. On note $f^*: K_0(A)\rightarrow K_0(B)$ l’homomorphisme déduit de $\widetilde{f}^*$.

c) On suppose que $f$ est surjectif ; on note $\mathfrak{a}$ son noyau, et $i$ l’injection canonique de $\mathfrak{a}$ dans A. Montrer que la suite

est exacte. Si de plus il existe un homomorphisme de pseudo-anneaux $s: B\rightarrow A$ tel que $f\circ s=$ Id$_B,i^*$ est injectif et $f^*$ est surjectif (appliquer l’exerc. 8 en prenant pour triplet $(A,B,C)$ d’abord $(A,A,B)$, puis $(D,\mathbf{Z},A)$).

d) Démontrer que les conclusions des exercices 7 et 8 s’étendent au cas des pseudo-anneaux.

e) On note $\mathbf{M}_{\infty}(A)$ le pseudo-anneau des matrices de type $\mathbf{N}\times \mathbf{N}$à éléments dans A, nuls sauf un nombre fini. Soit $f: A\rightarrow \mathbf{M}_{\infty}(A)$ l’application qui associe à $a\in A$ la matrice $(b_{ij})$ telle que $b_{00}=a$ et $b_{ij}= 0$ si $(i, j)\not= (0,0)$. Prouver que $f^*$ est un isomorphisme de $K_0(A)$ sur $K_0(\mathbf{M}_{\infty}(A))$ (utiliser les exerc. 4 et 7).