Bài tập 11, § 16

Cho L là một mở rộng cyclic của K với nhóm Galois G, và cho $\sigma$ là một phần tử sinh của G. Bài tập 10 cho một đẳng cấu chính tắc Br(L$/K$)$\rightarrow K^*/N_{L/K}(L^*)$, mà nghịch đảo của nó bây giờ ta sẽ xây dựng tường minh.

Cho $\theta \in K^*$, và cho $c_{\theta}\in Z^2(G,L^*)$ là phần tử được xác định bởi $c_{\theta}(\sigma^p, \sigma^q) =\theta^{\varepsilon(p,q)}$ (Bài tập 9, c)). Chứng minh rằng tích chéo $A[\mathscr{E},L]$ của L và mở rộng $\mathscr{E}$ liên kết với $c_{\theta}$ là đẳng cấu với thương của đại số trên K $L[X]_{\sigma}$ (VIII, p. 11) theo iđêan (hai phía) sinh bởi phần tử trung tâm $X^n-\theta$. Lớp của $A_{\theta}$ trong Br(L$/K$) tương ứng với lớp của $\theta$ (mod $N_{L/K}(L^*)$) bởi đẳng cấu được xác định ở trên.