Exercice 11, § 16

Soient L une extension cyclique de K, G son groupe de Galois, $\sigma$ un générateur de G. L’exerc. 10 fournit un isomorphisme canonique Br(L$/K$)$\rightarrow K^*/N_{L/K}(L^*)$, dont on va expliciter l’isomorphisme réciproque.

Soit$\theta \in K^*$, et soit $c_{\theta}\in Z^2(G,L^*)$ l’élément défini par $c_{\theta}(\sigma^p, \sigma^q) =\theta^{\varepsilon(p,q)}$ (exerc. 9 c)). Démontrer que le produit croisé $A[\mathscr{E},L]$ de L par l’extension $\mathscr{E}$ associé à $c_{\theta}$ est isomorphe au quotient de la K-algèbre $L[X]_{\sigma}$ (VIII, p. 10) par l’idéal (bilatère) engendré par l’élément central $X^n-\theta$. La classe de $A_{\theta}$ dans Br(L$/K$) correspond par l’isomorphisme ci-dessus à la classe de $\theta$ (mod $N_{L/K}(L^*)$).