Bài tập 9, § 16

Cho G là một nhóm hữu hạn và M là một $\mathbf{Z}$[G]-môđun. Ký hiệu bởi $N_G$ đồng cấu $m\mapsto \sum_ggm$ từ M vào M; ảnh của nó được chứa trong môđun con $M^G$ của M gồm các phần tử bất biến. Gọi $T_G(M)$ là nhóm thương $M^G/N_G(M)$. a) Cho $c\in Z^2(G,M)$. Chứng minh rằng phần tử $\sum_hc(h, g)$ thuộc $M^G$; ta ký hiệu lớp của nó trong $T_G(M)$ bởi $\theta_c(g)$. Chứng minh rằng $\theta_c$ là một đồng cấu từ G vào $T_G(M)$ và bằng không khi $c\in B^2(G,M)$. Từ đó suy ra một đồng cấu $\theta_M: H^2(G,M)\rightarrow$ Hom(G$,T_G(M)$).

b) Cho $u: M\rightarrow N$ là một đồng cấu của các $\mathbf{Z}$[G]-môđun và $\widetilde{u}: T_G(M)\rightarrow T_G(N)$ là đồng cấu cảm sinh bởi $u$. Chứng minh rằng ta có $\theta_N\circ H^2(u) =$ Hom(1$_G,\widetilde{u}$)$\circ \theta_M$. c) Từ bây giờ, giả sử rằng G là cyclic; gọi $\sigma$ là một phần tử sinh của G, và ký hiệu cấp của nó bởi $n$. Gọi $\chi \in$ Hom(G$,\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$) là đồng cấu gửi $\sigma$ tới lớp của 1, và gọi $\lambda \in H^2(G,\mathbf{Z})$ là ảnh của nó bởi đồng cấu nối liên kết với dãy khớp $0\rightarrow \mathbf{Z}\rightarrow \mathbf{Z}\rightarrow \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\rightarrow 0$. Chứng minh rằng $\lambda$ là lớp của phần tử $\varepsilon \in Z^2(G,\mathbf{Z})$ sao cho với $0\leqslant p < n$ và $0\leqslant q < n$, ảnh $\varepsilon (\sigma^p, \sigma^q)$ bằng 0 nếu $p+q < n$ và bằng 1 nếu $p+q\geqslant n$. Với $m\in M^G$, ký hiệu bởi $h_m$ ánh xạ tuyến tính $\mathbf{Z}$[G] từ $\mathbf{Z}$ vào M sao cho $h_m(1) =m$. Chứng minh rằng ảnh của $H^2(h_m)(\lambda )$ bởi $\theta_M$ bằng lớp của $m$, do đó $\theta_M$ là toàn ánh.

d) Chứng minh rằng $\theta_M$ là một đẳng cấu. (Cho $c\in Z^2(G,M)$. Chứng minh rằng ta có thể giả sử $c(g,1) =c(1, g) = 1$ với mọi $g\in G$, và xác định các ảnh bởi $d^1$ của các phần tử $b$ và $a_m(m\in M)$ của $C^1(G,M)$ được định nghĩa bởi $b(\sigma^p) =\sum^{p-1}_{i=0}c(\sigma^i, \sigma )$ và $a_m(\sigma^p) =\sum^{p-1}_{i=0}\sigma^im.$)