Exercice 9, § 16

Soient G un groupe fini, M un $\mathbf{Z}[G]$-module. On note N_G l’homomorphisme $m \mapsto \sum_g gm$ de M dans M ; son image est contenue dans le sous-module M^G de M formé des éléments invariants. Soit T_G(M) le groupe quotient M^G / N_G(M).

a) Soit $c \in Z^2(G, M)$. Démontrer que l’élément $\sum_h c(h, g)$ appartient à M^G ; on note $\theta_c(g)$ sa classe dans T_G(M). Prouver que $\theta_c$ est un homomorphisme de G dans T_G(M), qui est nul lorsque $c \in B^2(G, M)$. En déduire un homomorphisme $\theta_M : H^2(G, M) \to \operatorname{Hom}(G, T_G(M))$.

b) Soit $u : M \to N$ un homomorphisme de $\mathbf{Z}[G]$-modules, $\tilde{u} : T_G(M) \to T_G(N)$ l’homomorphisme induit par u. Prouver qu’on a $\theta_N \circ H^2(u) = \operatorname{Hom}(1_G, \tilde{u}) \circ \theta_M$.

c) On suppose désormais que G est cyclique ; on note $\sigma$ un générateur de G, et n son ordre. Soit $\chi \in \operatorname{Hom}(G, \mathbf{Z}/n\mathbf{Z})$ l’homomorphisme qui applique $\sigma$ sur la classe de 1, et soit $\lambda \in H^2(G, \mathbf{Z})$ son image par l’homomorphisme de liaison associé à la suite exacte $0 \to \mathbf{Z} \to \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} \to 0$ ; démontrer que $\lambda$ est la classe de l’élément $\varepsilon \in Z^2(G, \mathbf{Z})$ tel que $\varepsilon(\sigma^p, \sigma^q)$, pour $0 \leqslant p < n, 0 \leqslant q < n$, est égal à 0 si $p + q < n$ et à 1 si $p + q \geqslant n$. Pour $m \in M^G$, notons $h_m$ l’application $\mathbf{Z}[G]$-linéaire de $\mathbf{Z}$ dans M telle que $h_m(1) = m$. Prouver que l’image par $\theta_M$ de $H^2(h_m)(\lambda)$ est égal à la classe de m, de sorte que $\theta_M$ est surjectif.

d) Prouver que $\theta_M$ est un isomorphisme (soit $c \in Z^2(G, M)$) ; démontrer qu’on peut supposer $c(g, 1) = c(1, g) = 1$ pour tout $g \in G$ et calculer les images par $d^1$ des éléments a et $b_m$ ($m \in M$) de $C^1(G, M)$ définis par $b(\sigma^p) = \sum_{i=0}^{p-1} c(\sigma^i, \sigma)$ et $a_m(\sigma^p) = \sum_{i=0}^{p-1} \sigma^i m$.