Bài tập 2, § 17

Cho B là một đại số có bậc hữu hạn $n$ trên trường giao hoán K. Với mọi phần tử $b$ của B, ký hiệu Pm$_{B/K}(b; X)$ là đa thức tối tiểu của $b$ trên K (V, §3, No. 1, p. 16). Ta có Pm$_{B/K}(b; X) =$ Pm$_{B^o/K}(b; X)$.

a) Chứng minh rằng Pm$_{B/K}(b; X)$ chia hết Pc$_{B/K}(b; X)$, đa thức này lại chia hết (Pm$_{B/K}(b; X)$)$^n$.

b) Với mọi mở rộng L của K, ta có Pm$_{B_{(L)}/L}(1\otimes b; X) =$ Pm$_{B/K}(b; X)$.

c) Cho $(e_i)_{i\in I}$ là một cơ sở của B trên K và $\mathbf{Y}= (Y_i)_{i\in I}$ là một họ biến. Đa thức chính của đại số B đối với cơ sở $(e_i)$, ký hiệu bởi $P((e_i); X;\mathbf{Y})$ hoặc đơn giản là $P(X;\mathbf{Y})$, là đa thức tối tiểu trên $K(\mathbf{Y})$ của phần tử $\sum_{i\in I}Y_ie_i$ của $B_{(K(\mathbf{Y}))}.*$Chứng minh rằng nó thuộc về $K[X;\mathbf{Y}]$ (xem AC, VII, §3, n$^o5$, p. 230, Bổ đề 1 và định lý 2).

d) Cho $(e'_i)$ là một cơ sở khác của B trên K và $(\lambda_{ij})$ là ma trận có các phần tử trong K sao cho $e_i$ = $\sum_j\lambda_{ij}e'_j$ với $i\in$ I; nếu đặt $Y'_i$ = $\sum_j\lambda_{ji}Y_j$, thì $P((e_i); X;\mathbf{Y}) = P((e'_i); X;\mathbf{Y}')$. Cho $b=\sum_i\beta_ie_i$ là một phần tử của B; đa thức $P((e_i); X;\beta_1, . . . , \beta_n)$ độc lập với sự lựa chọn cơ sở $(e_i)$; ta gọi nó là đa thức chính của $b$ trên K. Nó chia hết Pc$_{B/K}(b; X)$ và là một bội của Pm$_{B/K}(b; X).*$

e) Cho $B'$ là một đại số trên K khác có bậc hữu hạn; hãy tính đa thức chính của đại số $B\times B'$ đối với một cơ sở thích hợp.